Ist folgendes so richtig? Funktionreihe

Question

Ist folgendes so richtig?

Algm gleichmäßige Konv :Sei ∑ fn(x) eine Funktionen reihe.

Dann konvergiert die Reihe gleichmäßig wenn es eine Majorante gibt oder?

Bsp:∑ 1/(1+(xn)^2) konvergiert gleichmäßig auf x ∈(3,inf)

da ∑1/n^2 konvergiert und 1/(1+(xn)^2)< 1/n^2

Algm: Stetigkeit:

Hier müsste ich zeigen das alle  fn(x) stetig sind

und wenn ∑ fn(x) gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f auch stetig

Bsp ∑ 1/(1+(xn)^2 )

sei ∀ε> 0 so exist δ >0 s.d für Ix-yI < δ gilt

I fn(x)-fn(y) I < ε

Also hier :

sei δ= \( \sqrt{ ε} \) / n^2

I 1/(1+(xn)^2) - 1/(1+(yn)^2) I = I \( \frac{1+(yn)^2-1-(xn)^2}{(1+(yn)^2)*(1+(xn)^2)} \)I < In^2 *  δ^2 I <  ε

also stetig .

Somit ist dann auch f stetig

Comments

Deine Überlegung zur gleichmäßigen Konvergenz der Reihe ist richtig.

Was die Stetigkeit der fn angeht, würde ich meinen, es reicht zu sagen, dass die fn Verknüpfungen von elementaren stetigen Funktionen sind und daher auch stetig.

Wenn Du allerdings den epsilon-delta-Beweis führe willst, ist mir nicht klar, wie Du von |x-y|<delta eine Abschätzung für |x^2-y^2| herleitest.

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Hallo

eigentlich geht es doch bei gleichmäßiger Konvergenz um Funktionen fn(x) das wäre z, B, fn(x)=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{1/(1+(k*x)^2)} \)

was soll die Grenzfunktion  f(x)sein?

wenn du die Konvergenz der Reihe untersuchst hast du recht .

lul

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Also ist die Überlegung für gleichmäßige Konvergenz falsch?

Ich müsste also fn(x) =\( \sum\limits_{k=0}^{n}{1/1+(kx)^2} \) auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen?

Aber wie mach ich das?

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Ich verstehe diexKritik von lul nicht. Ich habe Deinen Text so verstanden, dass Du das Weierstrass Majoranten Kriterium amwendest. Das wäre richtig.

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Ja genau das war die Intension. Mit den epsilon Delta hab ich mich dann aber ein wenig verrannt . Aber die Überlegung ist an und für dich richtig bei der Stetigkeit?

Vielen Dank schon mal :))