Zunächst eine Anmerkung:
Grundsätzlich gilt für die Addition unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen \(X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2), Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)\): $$X + Y\sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$$
und außerdem gilt $$\frac 1nX\sim N(\frac 1n \mu_X, \frac 1{n^2}\sigma_X^2)$$
Damit können wir loslegen:
(a) Beachte, dass grundsätzlich für die Varianz unabhängiger identisch verteilter \(X_i\) gilt:
\( Var\left(\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i \right) =\frac 1{n^2}\cdot n\cdot \sigma^2\)
Also:
\(\overline{X^{A}} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}5)\)
\(\overline{X^{B}} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{25})\)
(b) Erwartungstreue:
\(E(\widehat{\mu}_{1}) = \frac 45 \mu + \frac 15 \mu = \mu \rightarrow\) erwartungstreu
\(E(\widehat{\mu}_{2}) = \frac 15 \mu + \frac 35 \mu = \frac 45 \mu \neq \mu\rightarrow\) nicht erwartungstreu
\(E(\widehat{\mu}_{3}) = \frac 15 \mu + \frac 45 \mu = \mu \rightarrow\) erwartungstreu
(c)
\(Var(\widehat{\mu}_{1}) = \left(\frac 45\right)^2\cdot \frac {\sigma^2}5 + \left(\frac 15\right)^2 \cdot \frac {\sigma^2}{25} =\frac{81}{625}\sigma^2\)
\(Var(\widehat{\mu}_{3}) = \left(\frac 15\right)^2\cdot \frac {\sigma^2}5 + \left(\frac 45\right)^2 \cdot \frac {\sigma^2}{25} =\frac{9}{625}\sigma^2\)
Man würde als Schätzfunktion \(\widehat{\mu}_{3}\) vorziehen, da die Varianz kleiner ist. Denn dadurch sind größere Abweichungen vom Erwartungswert weniger wahrsscheinlich als bei \(\widehat{\mu}_{1}\).
