Wie berechnet man die Varianz und zeigt ob es erwartungstreu ist?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$\mathrm{Zu} Y \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ liegen die unabhängigen einfachen Stichproben $X_{1}^{A}, \ldots, X_{5}^{A}$ vom Umfang 5 und $X_{1}^{B}, \ldots, X_{25}^{B}$ vom Umfang 25 vor. Mit $\overline{X^{A}}:=\frac{1}{5} \sum \limits_{i=1}^{5} X_{i}^{A}$ und $\overline{X^{B}}:=\frac{1}{25} \sum \limits_{i=1}^{25} X_{i}^{B}$ werden die Schätzfunktionen
$\widehat{\mu}_{1}=\frac{4}{5} \cdot \overline{X^{A}}+\frac{1}{5} \cdot \overline{X^{B}}$
- $\widehat{\mu}_{2}=\frac{1}{5} \cdot \overline{X^{A}}+\frac{3}{5} \cdot \overline{X^{B}}$ und
$\widehat{\mu}_{3}=\frac{1}{5} \cdot \overline{X^{A}}+\frac{4}{5} \cdot \overline{X^{B}}$
zur Schätzung von $\mu$ betrachtet.

(a) Wie sind $\overline{X^{A}}$ und $\overline{X^{B}}$ (in Abhängigkeit von $\mu$ und $\sigma^{2}$ ) verteilt?

(b) Welche der Schätzfunktionen $\widehat{\mu}_{1}, \widehat{\mu}_{2}$ und $\widehat{\mu}_{3}$ sind erwartungstreu für $\mu$ ? Begründen Sie Ihre Antwort.

(c) Berechnen Sie zu den für $\mu$ erwartungstreuen Schätzfunktionen die zugehörige Varianz. Welche dieser Schätzfunktionen würden Sie am ehesten zur Schätzung von $\mu$ einsetzen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zunächst eine Anmerkung:

Grundsätzlich gilt für die Addition unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen $X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2), Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$: $$X + Y\sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$$

und außerdem gilt $$\frac 1nX\sim N(\frac 1n \mu_X, \frac 1{n^2}\sigma_X^2)$$

Damit können wir loslegen:

(a) Beachte, dass grundsätzlich für die Varianz unabhängiger identisch verteilter $X_i$ gilt:

 $Var\left(\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i \right) =\frac 1{n^2}\cdot n\cdot \sigma^2$

Also:

$\overline{X^{A}} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}5)$

$\overline{X^{B}} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{25})$

(b) Erwartungstreue:
$E(\widehat{\mu}_{1}) = \frac 45 \mu + \frac 15 \mu = \mu \rightarrow$ erwartungstreu

$E(\widehat{\mu}_{2}) = \frac 15 \mu + \frac 35 \mu = \frac 45 \mu \neq \mu\rightarrow$ nicht erwartungstreu

$E(\widehat{\mu}_{3}) = \frac 15 \mu + \frac 45 \mu = \mu \rightarrow$ erwartungstreu

(c)

$Var(\widehat{\mu}_{1}) = \left(\frac 45\right)^2\cdot \frac {\sigma^2}5 + \left(\frac 15\right)^2 \cdot \frac {\sigma^2}{25} =\frac{81}{625}\sigma^2$

$Var(\widehat{\mu}_{3}) = \left(\frac 15\right)^2\cdot \frac {\sigma^2}5 + \left(\frac 45\right)^2 \cdot \frac {\sigma^2}{25} =\frac{9}{625}\sigma^2$

Man würde als Schätzfunktion $\widehat{\mu}_{3}$ vorziehen, da die Varianz kleiner ist. Denn dadurch sind größere Abweichungen vom Erwartungswert weniger wahrsscheinlich als bei $\widehat{\mu}_{1}$.

Answer 2

a) Wir wissen, dass beide Stichproben aus normalverteilten Werten mit derselben Varianz stammen, aber unterschiedlichen Erwartungswerten. Daher sind auch beide Mittelwerte normalverteilt, wobei der Mittelwert von Stichprobe A eine größere Erwartung und eine geringere Varianz hat als der Mittelwert von Stichprobe B.

b) Eine Schätzfunktion ist erwartungstreu für eine unbekannte Größe, wenn ihr Erwartungswert gleich der unbekannten Größe ist. In diesem Fall ist es einfach zu überprüfen, ob die gegebenen Schätzfunktionen erwartungstreu sind, indem man ihre Erwartungswerte berechnet.

Comments

Hallo danke für die Hilfe, aber wie berechnet man den Erwartungswert der Schätzfunktionen und die Varianz ?

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Der Erwartungswert einer Schätzfunktion ist die durchschnittliche Schätzung, die die Funktion für eine bestimmte Stichprobe liefert. Er wird berechnet, indem man alle möglichen Schätzungen, die die Funktion für die gegebene Stichprobe liefern kann, miteinander multipliziert und dann durch die Anzahl der Schätzungen teilt.

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die Schätzungen der Funktion von ihrem Erwartungswert abweichen. Sie wird berechnet, indem man den Quadrat der Abweichung jeder Schätzung von ihrem Erwartungswert berechnet, diese Werte miteinander addiert und dann durch die Anzahl der Schätzungen teilt.

Beispiel:

Angenommen, wir haben eine Schätzfunktion, die für eine gegebene Stichprobe aus 5 Werten die Schätzungen 1, 2, 3, 4 und 5 liefert.

Der Erwartungswert wird berechnet, indem man 12345 = 120 teilt durch 5 Schätzungen, was einem Erwartungswert von 24 ergibt.

Die Varianz wird berechnet, indem man für jede Schätzung den Quadrat ihrer Abweichung vom Erwartungswert berechnet und diese Werte dann miteinander addiert. Für die Schätzung 1 ergibt sich (1-24)² = 529, für die Schätzung 2 ergibt sich (2-24)² = 484 usw. Die Gesamtvarianz beträgt also 529+484+441+400+361 = 2105. Dieser Wert wird dann durch die Anzahl der Schätzungen, also 5, geteilt, was einer Varianz von 421 ergibt.

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Kommentar zur Antwort 1:

Zu (a)

Die Werte in beiden Stichproben unterliegen derselben Verteilung $N(\mu,\sigma^2)$ und haben daher denselben Erwartungswert und dieselbe Varianz.

Die Mittelwerte $\overline{X^A}$ und $\overline{X^B}$ sind normalverteilt mit demselben Erwartungswert $\mu$. Die Varianz von $\overline{X^A}$ ist größer als die Varianz von $\overline{X^B}$. (Kann man leicht nachrechnen.)

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Kommentar zum 1. Absatz in @Moods Kommentar:

Jede Stichprobe liefert genau eine Schätzung, indem man die Werte der Stichprobe in die Schätzfunktion einsetzt.

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße wird nicht berechnet, indem man Schätzwerte aus Stichproben multipliziert. Daher ist auch das weiter unten angegebene Beispiel falsch.

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Vielen Dank für die Hilfe