Änderung der Varianz berechnen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie n = 49 studenten, die einen Test schreiben, dessen Note aus
Punkten zwischen 0 und 100 besteht. Man beobachtet einen Mittelwert von 73 und eine
Stichprobenvarianz von 24.

a. Wenn ein/e weitere/r Student/in den Test schreibt, und 95 Punkte erreicht, was ist
dann der neue Mittelwert?

b. Wenn ein/e weitere/r Student/in den Test schreibt, und 95 Punkte erreicht, wie
ändert sich dann die Varianz?

c. Angenommen der/die zusätzliche Studienrende hat 73 statt 95 Punkte. Wie ändern
sich dann Mittelwert und Varianz?

Problem/Ansatz:

Wie ich die Änderung des Mittelwerts ist klar, wie ich dasselbe bei der Varianz machen kann ist mir noch völlig unklar.

Comments

Wie ist die Varianz ermittelt? Die Formel ist dir sicher bekannt.

In sie muss du den Zusatzwert noch einbauen.

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Das hab ich versucht aber, der Mittelwert ändert sich ja auch und so ändern sich ja auch die Abstände von den anderen Werten zum Mittelwert....

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Das hab ich versucht aber, der Mittelwert ändert sich ja auch und so ändern sich ja auch die Abstände von den anderen Werten zum Mittelwert....

Ja, das Problem besteht. Vor allem hast du von der bisherigen Situation nur den Erwartungswert und die Standardabweichung, nicht aber die einzelnen Wert der 49 Teilnehmer.

Wenn du ein wenig clever bist, setzt du 47 der 49 Werte auf den Mittelwert von 73. Die restlichen 2 Werte kannst du mit 73+c und 73-c annehmen. (Der Mittelwert bleibt dabei 73).

Bestimme nun c so, dass die Stichprobenvarianz tatsächlich 24 ist.

Damit hast du 49 konkrete Werte, und der hinzukommende fünfzigste Wert ist auch konkret vorgegeben. (Sollte bei 73-c ein negativer Wert rauskommen ist das auch nicht schlimm.)

Mit den 50 konkreten Werten kannst du dann die neue Stichprobenvarianz ausrechnen.

Diese "exotische" Variante ist allerdings nur ein Notbehelf für den Fall, dass du mit der gegebenen Antwort vom Mathecoach nicht klar kommst.

Answer 1

c. Angenommen der/die zusätzliche Studienrende hat 73 statt 95 Punkte. Wie ändern sich dann Mittelwert und Varianz?

μ' = (n·μ + x)/(n + 1)
μ' = (49·73 + 73)/(49 + 1) = 73

σ²' = (n·σ² + (x - μ)^2 + 2·(x - μ)·(μ' - μ))/(n + 1)
σ²' = (49·24 + (73 - 73)^2 + 2·(73 - 73)·(73 - 73))/(49 + 1) = 23.52