Wie zeigt man ob die Schätzfunktionen konsistent im quadratischen Mittel für Sigma ^2 sind

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.

Mein Ansatz sieht wie folgt aus :

Var(Tn(X1,……,Xn) = 1/2n Summe ( von i=1 bis n ) Var (xi ^2)

Wie bekommt man nun die Var(xi^2)

Danke im Voraus!

Text erkannt:

Aufgabe 3
(8 Punkte)
Für \( \sigma>0 \) sei die Zufallsvariable \( Y \) Rayleigh-verteilt mit Parameter \( \sigma \). Es gilt dann \( \mathrm{E}(Y)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma, \operatorname{Var}(Y)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^{2} \) sowie \( \mathrm{E}\left(Y^{4}\right)=8 \sigma^{4} . X_{1}, \ldots, X_{n} \) sei für \( n \in \mathbb{N} \) eine einfache Stichprobe vom Umfang \( n \) zu \( Y \). Untersuchen Sie, ob die Schätzfunktionen
\( T_{n}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right):=\frac{1}{2 n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \)
konsistent im quadratischen Mittel für \( \sigma^{2} \) sind.
Ergebnisse (ohne Begründung/Rechenweg):
Die Schätzfunktionen \( T_{n}\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \) sind konsistent im quadratischen Mittel für \( \sigma^{2} \).

Answer 1

Der Schätzer ist im quadratischen Mittel konsistent für \(\sigma^2\), wenn

\(E(T_n - \sigma^2)^2\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\)

D.h., wir müssen \(E(T_n - \sigma^2)^2\) bestimmen.

Dazu benötigen wir:

\(V(Y) = E(Y^2) - E^2(Y) \stackrel{geg.\: Werte\: einsetzen}{\Rightarrow }\boxed{E(Y^2) = V(Y) + E^2(Y) = 2\sigma^2} \)

Vorsicht, jetzt wird's fummelig.

$$E(T_n - \sigma^2)^2 = E\left(\frac 1{2n}\sum_{i=1}^nX_i^2 - \sigma^2\right)^2$$

$$=E\left(\frac 1{4n^2} \underbrace{\left(\sum_{i=1}^nX_i^2\right)^2}_{=\sum_{i=1}^nX_i^4 + \sum_{\stackrel{i,j=1}{i\neq j}}^nX_i^2X_j^2}  - \frac{\sigma^2}n\sum_{i=1}^nX_i^2 + \sigma^4\right)$$

$$=\frac 1{4n^2} \left(n\cdot 8\sigma^4 + n(n-1)(2\sigma)^2\right)- \frac{\sigma^2}n\cdot n \cdot 2\sigma^2 + \sigma^4$$

$$=\frac 2{n} \sigma^4 + \frac{n-1}{n}\sigma^4- 2\sigma^4+ \sigma^4=\frac 1n\sigma^4\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

Fertig.

Comments

Hallo danke für die Hilfe.

Können sie bitte die letzten 3 Zeilen genauer erklären .

Wie haben sie das rechnerisch gemacht ?

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Von Zeile 1 nach 2 - binomische Formel und Quadrat einer Summe:

\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)

\((a_1+\cdots + a_n)^2 = a_1^2 + \cdots + a_n^2 + a_1a_2 + a_1a_3 + \dots a_1a_n + a_2a_1 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 + \dots a_na_{n-1} \)

Von Zeile 2 nach 3 - \(E(Y^2) und E(Y^4) einsetzen\)

Von Zeile 3 nach 4: Das solltest du selber können. :-)