Was ist die Varianz von X2 + Y2?

Question

Aufgabe:

Seien X,Y unabhängig, identisch und Normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 4.

Was ist die Varianz von X² + Y² ?

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass Var(X² + Y²) = Var(X²) + Var(Y²) wegen der unabhängigkeit und auch, dass E(X²) = 4 weil E(X) = 0 aber weiter komme ich nicht.

Comments

Ich weiß ... auch, dass E(X²) = 4 weil E(X) = 0

Das tönt seltsam.

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Var(X) = E(X² ) - E(X)²

4 = E(X²) -0²

Answer 1

Die ZV \(Z=\frac{1}{4^2}(X^2+Y^2)\) ist \(\chi^2\)-verteilt mit 2 Freiheitsgraden. Für eine \(\chi^2\)-Verteilung mit \(n\) Freiheitsgeraden beträgt die Varianz \(2n\). Weiterhin gilt \(\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)\).