Aufteilung zwischen X1 und X2 bei minimaler Varianz P=a*X1+(1-a)X2

Question

Hier nochmal die ganze Angabe: Wie wäre die Aufteilung zwischen X1 und X2 in einem Porfolio mit minimaler Varianz? Var(X1)=4 / Var(X2)=6 / Cov(X,Y)=-2 (Kovarianz)

P=a*X1+(1-a)X2 

Ich habe drunter noch die Lösung stehen 14a^2-16a+6   a=0.5714

Also ich weiß man die Gleichung von oben 0 setzen muss, aber ich komme nicht auf die Umformung 14a^2-16a+6

Könnte mir das jemand erklären?

Answer 1

Hi,
Du hast eine Funktion \( P(a) = ax_1 +(1-a)x_2 \)
Die Varianz dieser Funktion berechnet sich wie folgt
$$  Var\{P(a)\} = E[ \left( a(x_1-E(x_1) +(1-a)(x_2-E(x_2) \right)^2 $$ $$= a^2\sigma_{x_1}^2+(1-a)^2\sigma_{x_2}^2 + 2a(1-a)Cov\{ x_1,x_2 \} $$
Jetzt die Werte für \( \sigma_{x_1}^2 \), \( \sigma_{x_2}^2 \) und \( Cov\{x_1,x_2\} \) einsetzten, ergibt die Gleichung
$$ Var\{ P(a) \} = 14a^2-16a-+6 $$

Die Gleichung muss für \(a\) maximiert werden, d.h. man muss die erste Ableitung bilden und \( 0 \) setzten und dann nach \( a \) auflösen.
Wenn man das so macht, erhält man die Gleichung
$$ \frac{d}{da}Var\{P(a)\} = 28a -16 = 0 $$ und das ergibt als Lösung \( a = \frac{4}{7} \) was genau Deinem Wert entspricht.