Berechnen Sie jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Question

Aufgabe 1:

Berechnen Sie jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert der folgenden Funktionen im Punkt \( x=0 . \) In welchen Fällen existiert sogar der Grenzwert \( x \rightarrow 0 \) ?

\( h(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { für } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \\ 0 & \text { für } x \in \mathbb{Q}\end{array}\right. \)

Aufgabe 2:

Wir betrachten im Folgenden den Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Norm \( \|\cdot\|_{*}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch

\( \left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|_{*}=\frac{1}{2} \cdot\left|x_{1}\right|+\frac{1}{4} \cdot\left|x_{2}\right| \)

(a) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{*} \) tatsächlich eine Norm auf \( \mathbb{R}^{2} \) definiert ist.

(b) Skizzieren Sie die Menge \( A:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}:\|x\|_{*} \leq 1\right\} \).

(c) Ist die Menge \( B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2} \) beschränkt (bzgl. der Norm \( \|\cdot\|_{*} \) )?

(d) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N} *}=\left(\left(\frac{1}{n}, \frac{2 \cdot n^{2}}{n^{2}+5}\right)^{T}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \) gegen \( (0,2)^{T} \) konvergiert (bzgl. der Norm \( \|\cdot\|_{*} \) ).

Answer 1

Hi, die Funktion \( h(x) \) hat in keinem Punkt, also auch in \( x = 0 \) einen rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwert. Das liegt daran, das in jeder Umgebung eines rationalen Punktes auch irrationale Werte liegen und umgekehrt. Wenn also ein Grezwert \( L \) existieren sollte muss es ein \( \delta > 0 \) geben, s.d. für, z.B. den rechsseitigen Grenzwert gilt, für alle \( x \) mit \( 0 < x < \delta \) gilt \( | f(x) - L | < \epsilon \).

Da \( f(x) \) aber nur die Werte \( 1 \) und \( 0 \) annehmen kann, muss dann für \(x \in \mathbb Q\) gelten, \( -\epsilon < L < \epsilon \) und für \( x \notin \mathbb Q \) \( -\epsilon < 1-L < \epsilon \)

Das bedeutet für \( \epsilon = \frac{1}{2} \) z.B., das \( L < \frac{1}{2} \) und \( L > \frac{1}{2} \) gelten muss, was eine Widerspruch ist.

Also existiert weder der rechts- noch der linksseitige Grenzwert und es gibt auch keinen Fall, in dem die Grenzwerte existieren.