Beweis, dass Mengen abzählbar unendlich sind

Question

Aufgabe:

Es sind die Mengen $$ A = \left\{\frac{1}{n+1} | n ∈ N\right\} $$ und $$ B = \left\{n^{2} | n ∈ N\right\} $$ gegeben. Ich soll zeigen, dass $$ A, B$$ und $$ A \cup B $$ jeweils abzählbar unendlich sind.

Problem/Ansatz:

Wir hatten in der Vorlesung weder ein Beispiel noch Ideen zu dieser Art von Problem. Nach kurzer Recherche habe ich herausgefunden, dass hier bewiesen werden muss, dass die Mächtigkeit der beiden Mengen mit der der natürlichen Zahlen übereinstimmen muss und etwas zu bijektivität, das hatten wir ebenfalls noch nicht in der Vorlesung. Kann mir hier jemand weiterhelfen mit einem Ansatz?

Comments

Es gibt eine bijektive Abbildung von N nach A und N nach B.

---

bijektivität, das hatten wir ebenfalls noch nicht in der Vorlesung.

Das bezweifle ich.
Wenn es aber dennoch so ist, kannst du es ja im Internet
erklärt finden.

---

Das bezweifle ich. Wenn es aber dennoch so ist, kannst du es ja im Internet erklärt finden.

Solche Antworten helfen 0 weiter. Wir sind auch hier im Internet, daher ziehe ich solche Quellen ebenfalls als Teil meiner Recherche mit ein.

Kommentiere einfach nicht, wenn du nicht helfen möchtest. Ist ja alles freiwillig, sofern ich richtig informiert bin. Danke.

---

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass StudentenInnen
häufig behaupten, etwas sei in der Vorlesung nicht vorgekommen.
Mein Kommentar sollte dich dazu anregen, nochmal genau
nachzusehen, ob der fragliche Begriff nicht doch in der
Vorlesung oder begleitenden Veranstaltungen vorkam.

Da du dich im Internet nun schlaugemacht hast, dürfte ja
der Bijektivitätsbegriff für dich jetzt klar sein.
Es sei denn, du hast diesbezüglich ein Verständnisproblem.
Bin gerne bereit, das Problem zu beseitigen.

Wenn du aber möchtest, dass man dir konkreter zeigt, wie
man eine Bijektion finden kann, dann frage danach.

mathef hat das sehr gut übernommen.

Answer 1

Zu A: Betrachte die Abbildung \( f:\mathbb{N} \rightarrow A, f(n)=\frac{1}{n+1}   \)

Die ist offenbar surjektiv und wegen \( \frac{1}{n+1}   = \frac{1}{m+1}  \)  ==>  n=m

auch injektiv, also bijektiv. ==>  A abzählbar unendlich.

Comments

Danke, das hilft mir weiter.