Die Matrix
\(\begin{pmatrix}1&1&1&0&2&1&1\\ 2&2&0&-1&1&2&1\\ 1&1&2&-2&1&1&-1\\ \end{pmatrix}\)
mittels Gaus-Jordan-Verfahren in reduzierte Zeilenstufenform überführen:
\(\begin{pmatrix}1&1&0&0&1&1&1\\ 0&0&1&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&1&0&1\\ \end{pmatrix}\)
Parameter für die Spalten festlegen, in denen keine neue Stufe anfängt.
\(\begin{pmatrix}1&1&0&0&1&1&1\\ 0&0&1&0&1&0&0\\ 0&\underbrace{0}_{r}&0&1&\underbrace{1}_{s}&\underbrace{0}_{t}&1\\ \end{pmatrix}\)
Zeilen in Gleichungen umwandeln und lösen.
\(\begin{aligned} x_{1}+r+s+t=1 & \implies x_{1}=1-r-s-t\\ x_{3}+s=0 & \implies x_{3}=\phantom{1-r}-s\\ x_{4}+s=1 & \implies x_{4}=1\phantom{-r}-s \end{aligned}\)
Mit den Gleichungen auffüllen, die sich aus den Parametern ergeben.
\(\begin{aligned} x_{1} & =1-r-s-t\\ x_{2} & =\phantom{1-}r\\ x_{3} & =\phantom{1-r}-s\\ x_{4} & =1\phantom{-r}-s\\ x_{5} & =\phantom{1-r-}s\\ x_{6} & =\phantom{1-r-s-}t \end{aligned}\)
Mit \(0\) und \(1\) auffüllen.
\(\begin{aligned} x_{1} & =1-1r-1s-1t\\ x_{2} & =0+0r+1s+0t\\ x_{3} & =0+0r-1s+0t\\ x_{4} & =1+0r-1s+0t\\ x_{5} & =0+0r+1s+0t\\ x_{6} & =0+0r+0s+1t \end{aligned}\)
In Vektorschreibweise angeben.
\(\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\\ x_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ -1\\ -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\)
