Basiswechsel vornehmen M(f,b,b)

Question

Angegeben sind b, bestehend aus b1, b2 und b3:

\( b_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right), \quad b_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

Und A:

\( A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 3\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) \)

f ist die lineare Abbildung f= L_A

Nun soll man M(f,b,b) angeben. Ich bin mir nicht sicher in welche Richtung oder wie man hier vorgehen soll? Danke schonmal.

Answer 1

Du brauchst eigentlich nur folgendes wissen:

Schreibe dazu zunächst die Basisvektoren \(b_1,b_2,b_3\) als Spalten in eine Matrix, die wir B nennen:

$$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Diese Matrix verwandelt die Koordinaten eines Vektors bzgl. B in die Koordinaten desselben Vektors bzgl. der Standardbasis um:

\(E = \{e_1,e_2,e_3\} \text{ mit } e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} , e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\)

Das Diagramm zeigt, wie man M(f,B,B) findet:

\(\begin{array}{ccc}\mathbb{R}^3, E & \stackrel{A}{\rightarrow} & \mathbb{R}^3, E \\ B\uparrow & & \downarrow B^{-1} \\ \mathbb{R}^3, B & \stackrel{M(f,B,B)}{\rightarrow} & \mathbb{R}^3, B\end{array}\)

$$M(f,B,B)= B^{-1}AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\  & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Berechnung ist  hier. (Schau bei "Alternate forms".)