Basiswechsel von R^3 zu R^2?

Question

Aufgabe:

a)  Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich dimensionalen Vektorräumen. Beschreiben Sie, wie man \( f \) eine Matrix zuordnet.

b) Sei \( C \) die Basis \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \), \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \) des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( A=\left(\begin{array}{cc}-4 & 3 \\ -4 & 3 \\ 8 & -5\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \).
Finden Sie die Basis \( B \) des \( \mathbb{R}^{2} \) derart, dass \( { }_{C} \mathrm{M}_{B}\left(L_{A}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) ist.

Problem/Ansatz:

a) 1) Wähle Basen B von V und C von W

2) Stelle Bilder aus Basis C in Basis C dar

3) Schreibe Kopf. Spaltenweise

Frage: welche Begründung wäre hier angebracht?

b) ich hab wirklich kein Plan und gemacht was chatgpt mir befohlen hat(aber da chatgpt auch viel Trash produziert, bin ich mir nicht sicher, ob es richtig ist) daher bitte ich um Erklärung was ich überhaupt machen muss, danke <3

M^-1:

-3/4	1	-1/4
7/4	-1	1/4
3/2	-1	1/2

da gilt B=M^-1 *_cM_B(L_a) und dann auf B=

1/4	3/4
3/4	-3/4
1/2	-1/2

und das sollte das Basisvektoren des R^2 entsprechen, aber die sollten dann doch nur 2 Zeilen haben right?

danke für alle Hilfe :)

Answer 1

In der Spalte der Matrix stehen die Koeffizienten, die man braucht um die Bilder der Basisvektoren von B mit der Basis C darzustellen.

Wenn \( \left(\begin{array}{l}a \\ b \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c \\ d\end{array}\right) \) die gesuchte Basis ist, muss also gelten

\( A \cdot \left(\begin{array}{l}a \\ b \end{array}\right) =1 \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ -3\end{array}\right)+ 0 \cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)\)

und

\( A \cdot \left(\begin{array}{l}c \\ d \end{array}\right) =0 \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ -3\end{array}\right)+ 1 \cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)\)

Die Gleichungssysteme musst du lösen. Ich bekomme beim ersten

-4a+3b=2
-4a+3b=2
8a-5b=-2            also a=1 und b=2.

Und beim 2.

-4c+3d=1
-4c+3d=1
 8c-5d=1       also c=2 und d=3.