Wie prüfe ich Vektoren mit ungleich vielen Zeilen?

Question

Ich weiß, was ich machen muss und das ich die Bedingungen prüfen muss, aber wie mache ich das, wenn die Vektoren nicht gleich viele Zeilen haben?

Text erkannt:

Aufgabe \( 9.4\left(3^{*} 2 \mathrm{P}\right) \). Seien \( V \) und \( V^{\prime} \) Vektorräume über \( \mathbb{K} \). Wir betrachten Abbildungen \( f: V \longrightarrow V^{\prime} \) für die gilt \( f\left(v+v^{\prime}\right)=f(v)+f\left(v^{\prime}\right) \) und \( f(\lambda v)= \) \( \lambda f(v) \) für alle \( v, v^{\prime} \in V \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \). Entscheiden Sie, mit Begründung, ob die folgenden Abbildungen diese Eigenschaften erfüllen:
1. \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( V^{\prime}=\mathbb{R}^{2} \) mit der üblichen \( \mathbb{R} \)-Vektorraum Struktur und \( f: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) ist definiert durch: \( f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \)

Comments

Schreibe doch mal für das Beispiel der Aufgabe konkret auf, was zu prüfen ist. Also was ist konkret

$$f \left( \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}y_1 \\y_2 \\y_3\end{pmatrix}\right) \text{  und } f\left( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)+  f\left( \begin{pmatrix}y_1 \\y_2 \\y_3\end{pmatrix}\right)$$

Answer 1

Dass die Vektoren unterschiedlich viele Zeilen haben, sollte kein Problem sein. Mach dir klar, was dort steht: Nämlich im Endeffekt einfach eine Zuordnung, sodass x1,x2 und x3 letztendlich nicht mehr übereinander stehen sondern "neu" angeordnet werden, sodass die erste Zeile aus x1+x2 und die zweite Zeile aus x3 besteht.

Du musst nun die Eigenschaften prüfen, also ich wähle $$v=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \text{ und } v'=\begin{pmatrix} x_4\\x_5\\x_6 \end{pmatrix}$$

zu zeigen: f(v+v')= f(v)+f(v')

$$f(v)+f(v')=f(\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}) + f(\begin{pmatrix} x_4\\x_5\\x_6 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x_1+x_2\\x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_4+x_5\\x_6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1+x_2+x_4+x_5\\x_3+x_6 \end{pmatrix}$$

$$f(v+v')= f(\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_4\\x_5\\x_6 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} x_1+x_4\\x_2+x_5\\x_3+x_6 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x_1+x_2+x_4+x_5\\x_3+x_6 \end{pmatrix}$$

Es gilt also f(v)+f(v') = f(v+v')

Vielleicht verstehst du es jetzt besser und kannst die zweite Eigenschaft alleine beweisen :) Wenn nicht, melde dich!