Es seien \( U \subset \mathbb R^l , V \subset R^m \:\:\: und \:\:\: W\subset R^n \:\: VR. \)
Sei \( E := \{\vec v_1 , \dots , \vec v_r \} \) eine Basis von \( V \) und für \( \vec w_1 , \dots , \vec w_r \in W \)
sei \( \phi : V \rightarrow W \) die eindeutige lineare Abbildung mit \( \phi (\vec v_k ) = \vec w_k \) für alle \(1≤k≤r \). Zeigen Sie:
(a) φ ist genau dann surjektiv, wenn \(\{\vec w_1 , \dots , \vec w_r \} \) ein Erzeugendensystem von W ist.
(b) φ ist genau dann bijektiv, wenn \(\{\vec w_1 , \dots , \vec w_r \} \) eine Basis von W ist.
Problem/Ansatz:
a)
Sei \( E \) eine Basis von \( V \) und \( W \) . Dann ist \( E \) per Definition ein minimales EZS Von \( V \) und \( W \) .
Dann sind alle Vektoren in E linear unabhängig. Wenn jetzt \( E \) ein Vektor hinzugefügt wird, ist dieser linear abhängig zu anderen, was dazu führt, dass das Urbild dieses auf \( \phi \) angewendeten Vektors zwei Bilder hat, da ja ein anderer (linear unabhängiger aus \( E \) ) auch dieses Urbild besitzt, was nach Definition der Surjektivität als Nachweis dafür gelten sollte.
Aber wie weise ich das mathematisch nach? Brauche ich dazu auch den Kern usw? Und stimmt dieser Ansatz überhaupt?
