Zeige, dass g(x,y) = 0 unendlich viele Lösungen hat

Question

Aufgabe:

g(x,y) = e^{x^2+y^2-1}+(\( \frac{1}{e} \)+1)*(\( x^{2} \)+\( y^{2} \)-1)

Zeige, dass g(x,y) = 0 unendlich viele Lösungen hat

Problem/Ansatz:

Ich habe hier versucht die Gleichung e^{x^2+y^2-1}+(\( \frac{1}{e} \)+1)*(\( x^{2} \)+\( y^{2} \)-1) = 0 zu vereinfach , komme aber zu keiner Lösung.

Comments

Substituiere x^2+y^2-1 = z

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Also e^z + (\( \frac{1}{e} \)+1)*z = 0 für z lösen?

Kannst du mir ein bisschen helfen z zu isolieren, weil das stellst sich irgendwie als schwierig heraus.

Danke!

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für z lösen?

Es geht nur um den Nachweis einer Lösung, deren Existenz die von x und y nach sich zieht, nicht um die konkrete Angabe einer solchen Lösung.

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Also muss ich beweisen, dass es mindestens eine Lösung gibt. Welches Theorem bietet sich denn dazu am besten an?

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Welches Theorem bietet sich denn dazu am besten an?

Wenn du wenigstens eines kennst, dann nimm das.

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Ich habe diese Übung jetzt nochmal in Angriff genommen.

Sei z = x² + y² -1,

e^z+(\( \frac{1}{e} \)+1)*z = 0

1) Nun möchte ich beweisen, dass es mindestens eine Lösung gibt: Zwischenwertsatz

Leider fällt mir hier aber kein wirklicher Beweis ein. Kann mir wer helfen?

2) Sofern man die Existenz einer Lösung nachgewiesen hat, kann man daraus schliessen, da z = x² + y² -1 ⇔ z - 1 = x² + y² ein Kreis ist, wenn z > 1, es unendlich Lösungen gibt.

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Mit \(h(z)=\mathrm e^z+\big(\tfrac1{\mathrm e}+1\big){\cdot z}\) gilt \(h(0)=1>0\) und \(h(-1)=-1<0\).
Nach dem ZWS muss es mindestens eine Nullstelle im Intervall \((-1,0)\) geben.

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Vielen Dank! Habe bei 2) einen Fehler gemacht z = x²+y² - 1 ⇔ z + 1 = x²+y², wobei z > -1 sein muss, damit es unendlich Lösungen gibt.

Und wie würdest du dass jetzt mit dem Nachweisen der Existenz von unendlich Lösungen verbinden?

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Und wie würdest du dass jetzt mit dem Nachweisen der Existenz von unendlich Lösungen verbinden?

z + 1 = x^2+y^2, wobei z > -1

Auf einem Kreis mit Radius > 0 liegen unendlich viele Punkte.

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Vielen Dank!

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