Habe ich alles richtig bestimmt?

Question

Hallo!

Aufgabe:

Ich soll hier folgende Wurzeln bestimmen. Das habe ich auch getan, nur war ich mir nicht sicher, ob meine Berechnungen korrekt sind. Habe ich alles richtig bestimmt? Man muss ja auch noch überprüfen, dass arg(z) ∈ (-π]. Deswegen habe ich -2π abgezogen. Ich hoffe das stimmt so.

Problem/Ansatz:

e) \( \sqrt[3]{8} \)
\( |z|=\sqrt{8^{2}+0^{2}}=\sqrt{64}=8 \)
\( \arg (z)=\operatorname{arccas}\left(\frac{8}{8}\right)=\arccos (1)=0^{\circ}=2 \pi \)
\( \left.\sqrt{z} \mid=\sqrt[3]{8} \cdot\left(e^{i 2 \pi}\right)^{\frac{1}{3}}=2 \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi+2 \pi k}{3}\right.}\right) \)
\( k=0 \Rightarrow 2 \cdot e^{i \frac{2 \pi}{3}} \)
\( k=1 \Rightarrow 2 \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi+2 \pi}{3}\right)}=2 \cdot e^{i \frac{4 \pi}{3}} \)
\( \Rightarrow 2 \cdot e^{i \frac{4 \pi}{3}-2 \pi}=2 \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} i} \)
\( k=2 \Rightarrow 2 \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi+4 \pi}{3}\right)}=2 \cdot e^{\frac{6 \pi}{3}-2 \pi} \)
\( =2 \cdot e^{2 \pi-2 \pi} \)
\( =\underline{\underline{2}} \)

f) \( \sqrt[3]{i}= \)
\( |z|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1 \)
\( \arg (z)=+\operatorname{arccas}\left(\frac{0}{1}\right)=\arccos (0)=\frac{\pi}{2} \)
\( k=0 \Rightarrow e^{i \frac{\frac{\pi}{2}}{3}}=e^{i \frac{\pi}{6}} \)
\( k=2 \Rightarrow e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+4 \pi}{3}}=e^{i \frac{\frac{9 \pi}{2}}{3}} \)
\( =e^{i \frac{9 \pi}{6}}=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \)

c) \( \sqrt[3]{-1+i}= \)
\( |z|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \)
\( \arg (z)=+\arccos \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=: γ \)
\( \sqrt{z}=(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} \cdot\left(e^{i y}\right)^{\frac{1}{3}}=(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{i \varphi+2 \pi k}{3}} \)
\( k=0 \Rightarrow(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{i 4}{3}} \)
\( k=1 \Rightarrow(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{i y+2 \pi}{3}} \)
\( k=2 \Rightarrow(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{i y+4 \pi}{k}} \)

a) \( \sqrt[3]{\sqrt{3}+i}= \)
\( |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2 \)
\( \arg (z)=+\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6} \)
\( k=0,1,2 \quad \frac{\pi}{6}+\frac{24 \pi}{6}=\frac{25 \pi}{6} \)
\( k=0 \Rightarrow \sqrt{z}=2^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{\pi}{6}}=2^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{\pi}{18}} \)
\( =2^{\frac{1}{3}} \cdot e^{i\left(\frac{\frac{13 \pi}{6}}{3}\right)}=\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{13 \pi}{18}} \)
\( =\sqrt[3]{2} \cdot e^{i\left(\frac{25 \pi}{6}\right)}=\sqrt[3]{2} \cdot e^{i \frac{25 \pi}{18}} \)

Answer 1

\( z=\sqrt[3]{8} \) ist die reelle Zahl 2, als komplexe Zahl also z=2+0*i

mit arg(z)=0 und Polardarstellung z=2 · e⁰ .

Vermutlich soll das bei f) so heißen

f) \( \sqrt[3]{i}= \)  Für z=i gilt:

\( |z|=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}=1 \)  und

\( \arg (z)=+\operatorname{arccas}\left(\frac{0}{1}\right)=\arccos (0)=\frac{\pi}{2} \)

Die drei 3.Wurzeln sind dann

\( k=0 \Rightarrow e^{i \frac{\frac{\pi}{2}}{3}}=e^{i \frac{\pi}{6}} \)

\( k=2 \Rightarrow e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+4 \pi}{3}}=e^{i \frac{\frac{9 \pi}{2}}{3}}  =e^{i \frac{9 \pi}{6}}=e^{i \frac{3 \pi}{2}} \)

und \( k=1 \Rightarrow e^{i \frac{\frac{\pi}{2}+2 \pi}{3}}=e^{i \frac{\frac{5 \pi}{2}}{3}}  =e^{i \frac{5 \pi}{6}} \)

Comments

Erstmal vielen Dank mathhef, aber genauso habe ich ja auch gerechnet wie du's erklärt hast. Muss ich überhaupt was verbessern? Passen alle Berechnungen soweit?