Ein Kleingartenverein möchte die Front seines Sozialgebäudes streichen

Question

Aufgabe:

Ein Kleingartenverein möchte die Front seines Sozialgebäudes, dessen Front 4m
breit und 4m hoch ist, das stilisierte Vereinslogo darstellen.

Gegeben sind die folgenden beiden Funktionen:

Text erkannt:

\( f(x)=-0,25 x^{3}+x+2 \) und \( g(x)=-\frac{5}{12} x^{3}+\frac{5}{3} x+2 \)

Problem/Ansatz:

Die beiden Funktionen sind zu integrieren, um die zu streichende Fläche einer Hauswand zu berechnen. Wenn ich das tue, im Interval von -2 bis 2 erhalte ich als Ergebnis 0. Muss ich im Interval von 0 bis 2 integrieren und das Ergebnis x2 nehmen? Falls ja, wie lässt sich das erklären? Ich stehe aktuell auf dem Schlauch.

Answer 1

Aloha :)

Für \(x<0\) verläuft die rote Kurve unterhalb der blauen. Für \(x>0\) ist es umgekehrt. Daher liefert die eine Hälfte ein negatives Integral und die andere Hälfte ein positives Integral. Bei der Berechnung der Fläche musst du von einem Schnittpunkt zum nächsten integrieren und von den jeweiligen Integralen den Betrag nehmen:$$F=\left|\int\limits_{-2}^0(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left|\int\limits_0^2(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Answer 2

Hallo

ja, du hast die richtige Idee, da die Funktionen ja punktsymmetrisch sind.  sonst f-g von -2 bis 0 integrieren, g-f von 0 bis 2.

Gruß lul

Answer 3

\(f(x)=-0,25 x^{3}+x+2 \)  und  \( g(x)=-\frac{5}{12} x^{3}+\frac{5}{3} x+2 \)

Differenzfunktion:

\(d(x)=-\frac{5}{12} x^{3}+\frac{5}{3} x+2-(-0,25 x^{3}+x+2)\)

\(d(x)=-\frac{5}{12} x^{3}+\frac{5}{3} x+2+\frac{1}{4} x^{3}-x-2\)

\(d(x)=-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{2}{3} x\)

\( A=2 \cdot \int \limits_{0}^{2}\left(-\frac{1}{6} x^{3}+\frac{2}{3} x\right) \cdot d x=2 \cdot\left[-\frac{x^{4}}{24}+\frac{1}{3} x^{2}\right]_{0}^{2}\)=

=\(2 \cdot\left\{\left[-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right]-[0]\right\}=\frac{4}{3} \)

Wenn du von -2 bis+2 integrierst, bekommst du 0, weil sich beide Flächen aufheben.