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Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien U1, U2 ⊂ V Untervektorräume von V .

a) Es wurde erwähnt, dass die Vereinigung U1 ∪ U2 im Allgemeinen kein Untervektorraum von V ist. Geben Sie hier für ein konkretes Beispiel, d.h. nennen Sie einen Vektorraum V sowie zwei Untervektorräume U1, U2 und begründen Sie,
warum in Ihrem Beispiel U1 ∪ U2 kein Untervektorraum von V ist.

b) Zeigen Sie, dass U1 ∩ U2 stets ein Untervektorraum von V ist.

c) Wir betrachten R4 sowie die beiden Untervektorräume

U: = Spannℝ (1111) \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} , (0101) \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} (1001) \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} }, V: = Spannℝ  {(0110) \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} (1111) \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1 \end{pmatrix} }


Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V .

Hinweis: Untersuchen Sie die Elemente von U + V auf lineare Abhängigkeit. Was können Sie aus dem Ergebnis folgern?


Problem/Ansatz:

Ich hänge leider bei dieser Aufgabe fest und habe keinerlei Ansatzpunkt, wie ich die Lösen kann/soll.

Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es machen muss wäre ich sehr dankbar.

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