Gleichung von Parabel: K: f(x)= 1/2 x^3-tx^2+1/2 t^2 x

Question

K: f(x)= 1/2x^3-tx^2+1/2 t^2 x

Eine Parabel zweiter Ordnung P geht durch die Punkte von K mt der x-Achse und berührt K im Ursprung. Bestimmen Sie eine Gleichung von P und weisen Sie nach, dass K und P keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.Wie geht es ? Nullstellen und Extrempunkte von K habe ich ausgerechnet

Comments

Wo genau steht das x am Schluss von

K: f(x)= 1/2x³-tx²+1/2t^2x ? 

und ist jeweils nur die 2 unter dem Bruchstrich?

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K: f(x)= 1/2x³-tx²+1/2t^2xEine Parabel zweiter Ordnung P geht durch die Punkte von K mt der x-Achse und berührt K im Ursprung. Bestimmen Sie eine Gleichung von P und weisen Sie nach, dass K und P keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.Wie geht es ? Nullstellen und Extrempunkte von K habe ich ausgerechnet

Ansatz für P

P: g(x) = ax^2 + bx + c

berührt K im Ursprung.

heisst: c=0 und g ' (0) = f ' (0).

geht durch die Punkte von K mt der x-Achse  muss heissen

geht durch die Schnittpunkte von K mt der x-Achse 

Nun Nullstelle ≠ 0 einsetzen. Gibt eine zweite Gleichung für die Unbekannten a und b.

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Die zwei steht unter dem Bruch strich das ist am ende 1/2 t^2 x

Answer 1

Eine Parabel zweiter Ordnung P geht durch die Punkte von K mit der x-Achse und berührt K im Ursprung. Bestimmen Sie eine Gleichung von P und weisen Sie nach, dass K und P keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.Wie geht es ? Nullstellen und Extrempunkte von K habe ich ausgerechnet

K: f(x) = x^3/2 - t·x^2 + t^2·x/2 = x·(x - t)^2/2

f'(x) = 3·x^2/2 - 2·t·x + t^2/2

Nullstellen also bei 0 und t

P: g(x) = ax^2 + bx

g'(x) = 2ax + b

g(t) = 0
a·t^2 + b·t = 0

g'(0) = f'(0)
b = t^2/2

Nun noch a bestimmen

a·t^2 + (t^2/2)·t = 0
a = -t/2

Damit lautet die Parabel P

g(x) = - t/2·x^2 + t^2/2·x

 

Prüfen auf Schnittpunkte

g(x) = f(x)

- t/2·x^2 + t^2/2·x = x^3/2 - t·x^2 + t^2·x/2
- t/2·x^2 + t^2/2·x - x^3/2 + t·x^2 - t^2·x/2 = 0
t·x^2/2 - x^3/2 = 0
x^2·(t - x)/2 = 0
x = 0 oder x = t