Question

Sei e=exp(1) die eulersche Zahl. Zeigen sie:

(1+1/n)ⁿ ≤ e ≤ (1+1/n)ⁿ⁺¹

Folgern sie, dass lim(1+1/n)ⁿ =e

Problem/Ansatz:

- (1+1/n)ⁿ ≤ e ich weiß nicht wie ich hier den binomischen Lehrsatz anwende.

- (1+1/n)ⁿ⁺¹ ≤ e hier soll ich die Identität exp(1/(n+1))ⁿ⁺¹ = e anwenden, wie funktioniert das?

Comments

Wie ist denn \(e\) bei euch definiert?

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass bei Euch \(e=\exp(1)\) über die Exponential-Reihe definiert ist.

Zur ersten Ungleichung:

$$(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}\frac{1}{n^k}=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \frac{n!}{n^k(n-k)!} \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} =e$$

Noch ein genauer Blick auf die letzte Ungleichung:

$$ \frac{n!}{n^k(n-k)!}=\frac{n}{n}\;\frac{n-1}{n}\;\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n+1-k}{n}\;\frac{n-k}{n-k}\;\frac{n-k-1}{n-k-1}\cdots\frac{2}{2}\;\frac{1}{1}$$

Die ersten Faktoren lassen sich nach oben durch 1 abschätzen, die hinteren kürzen sich weg.

Zur zweiten Abschätzung. Aufgrund des Hinweises schauen wir auf

$$\exp(\frac{1}{n+1})=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k \leq \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=1+\frac{1}{n}$$

Comments

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n \cdot(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot k \dagger} \)

Du hast doch den binomialkoeffizieten nicht richtig formuliert oder? Im nenner bei dir steht n^k anstelle von k!

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Ich habe da schon k! Und n^k vertauscht, die k! Lasse ich stehen, die anderen Teile verarbeite ich

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Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^{k}=\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=1+\frac{1}{n} \)

Und wie kommst du hierdrauf?

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Geometrische Reihe

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Kannst du das vielleicht erläutern?

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Schau mal in Wiki nach "geometrische Reihe"