Abbildung von Vektorräumen - Matrix bestimmen

Question

Aufgabe 4. Es bezeichne \( f: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \) die Abbildung von Vektorräumen gegeben durch
\( f(X)=A X-X A \quad \text { mit } \quad A:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) . \)
(ii) Bestimmen Sie die Matrix \( N:=M(f, e, e) \in M_{4}(\mathbb{R}) \) von \( f \) in der folgenden Basis \( e=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right) \) von \( M_{2}(\mathbb{R}) \) :
\( e_{1}:=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{3}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad e_{4}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) . \)

(iii) Finden Sie eine Basis \( u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right) \) von \( M_{2}(\mathbb{R}) \) so, dass die Matrix von \( f \) bezüglich dieser Basis die Matrix \( \tilde{N}=\left(\begin{array}{cccc}0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \) ist.

Answer 1

Auch hier wieder die Bilder der Basis bestimmen und mit der Basis

für die Bilder (Das ist hier ja die gleiche.) darstellen.

\(f(e_1)=A X-X A = \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\)

       \(= \left(\begin{array}{ll} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\)

Und das jetzt mit der Basis darstellen gibt

\( \left(\begin{array}{ll} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right) = 0\cdot e_{1}+ (-1)\cdot e_{2}+ 1\cdot e_{3}+ 0\cdot e_{4}  \)

Und die 4 benutzten Koeffizienten bilden die erste Spalte der gesuchten Matrix

\( \left(\begin{array}{ll} 0 & ?&?&?\\ -1 &  ?&?&?\\ 1 &  ?&?&?\\ 0 &  ?&?&? \end{array}\right)\).

Die anderen 3 erhältst du, wenn du das mit den anderen 3 Basisvektoren(Matrizen)

entsprechend machst.