Abbildung von Vektorräumen - Matrix bestimmen

Question

Aufgabe 4. Es bezeichne $f: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R})$ die Abbildung von Vektorräumen gegeben durch
$f(X)=A X-X A \quad \text { mit } \quad A:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) .$
(ii) Bestimmen Sie die Matrix $N:=M(f, e, e) \in M_{4}(\mathbb{R})$ von $f$ in der folgenden Basis $e=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)$ von $M_{2}(\mathbb{R})$ :
$e_{1}:=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad e_{3}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad e_{4}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) .$

(iii) Finden Sie eine Basis $u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right)$ von $M_{2}(\mathbb{R})$ so, dass die Matrix von $f$ bezüglich dieser Basis die Matrix $\tilde{N}=\left(\begin{array}{cccc}0 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ist.

Answer 1

Auch hier wieder die Bilder der Basis bestimmen und mit der Basis

für die Bilder (Das ist hier ja die gleiche.) darstellen.

$f(e_1)=A X-X A = \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$

       $= \left(\begin{array}{ll} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)$

Und das jetzt mit der Basis darstellen gibt

$\left(\begin{array}{ll} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right) = 0\cdot e_{1}+ (-1)\cdot e_{2}+ 1\cdot e_{3}+ 0\cdot e_{4}$

Und die 4 benutzten Koeffizienten bilden die erste Spalte der gesuchten Matrix

$\left(\begin{array}{ll} 0 & ?&?&?\\ -1 & ?&?&?\\ 1 & ?&?&?\\ 0 & ?&?&? \end{array}\right)$.

Die anderen 3 erhältst du, wenn du das mit den anderen 3 Basisvektoren(Matrizen)

entsprechend machst.