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Zeigen Sie für kN k \in \mathbb{N} :
limxaxkakxa=kak1,limx0ex1x=1,limx0sinxx=1 \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{x^{k}-a^{k}}{x-a}=k a^{k-1}, \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1, \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1

Ansatz wäre Sin(x) und ex als Potenzreihen schreiben

Hey, liebe Mathelounge Community, ich bräuchte mal eure Hilfe

komme leider nicht weiter, könnte wer mir bitte vorrechnen. LG

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Für differenzierbare Funktionen gilt:

limxaf(x)f(a)xa=f(a)\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)

(1)f(x)=xk(1) f(x) = x^k

(2)f(x)=ex,a=0(2) f(x) = e^x, a = 0

(3)f(x)=sinx,a=0(3) f(x) = \sin x, a = 0

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Eine andere Möglichkeit ist, L'Hosptal zu verwenden.
Das führt rasch zum Ziel.

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