Beweisen Sie: Für jedes m ∈ ℕ gilt: lim x --> ∞ (((log(x))^m))/x = 0

Question

Beweisen Sie: Für jedes m ∈ ℕ gilt

$$ \lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { (log(x))^{ m } }{ x }  } =\quad 0 $$

Comments

Könnte vielleicht mit Induktion über \(m\) und l'Hospital klappen:$$\lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^m}x=m\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{(\log x)^{m-1}}x.$$

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass der natürliche Loarithmus gemeint ist. Für eine andere Basis erfolgt das Vorgehen analog.

Für

$$ \frac{log(x)}{x^{\frac{1}{m}}} =  \frac{log(x)}{exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))} $$

gilt nach l'Hospital:

$$ \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)}{exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))} }  \\ =\lim_{x \to \infty}{ \frac{\frac{1}{x}}{ \frac{1}{mx} \cdot exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))}}  \\ = \lim_{x \to \infty}{ \frac{m}{  exp(\frac{1}{m} \cdot log(x))}} \\ = 0$$

Und da das Produkt von Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist, gilt

$$ \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)}{x^{\frac{1}{m}}}} =   \lim_{x \to \infty}{\frac{log(x)^m}{x}} = 0 $$

Answer 2

setze log(x)=y

x=e^y

da x gegen unendlich strebt , strebt auch y gegen unendlich.

Der neue Grenzwert lautet somit

Lim y --->∞  y^m/e^y

Es ist für positive y

e^y=∑k=0 bis ∞ y^k/k!

> ∑k=0 bis (m+1) y^k/k!

Dies ist ein Polynom (m+1)ten Grades

Somit ist Lim y --->∞  y^m/e^y=0