Aloha :)
Fürhe für den Integranden eine sog. Partialbruchzerlegung durch:$$\frac{4}{x^3+4x^2+4x}=\frac{4}{x(x^2+4x+4)}=\pink{\frac{4}{x(x+2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+2)^2}}$$
Betrachte nur die pinke Gleichung weiter:
1) Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(x\) und setze danach \(x=0\) ein:$$\frac{4}{(x+2)^2}=A+\frac{B}{x+2}\cdot x+\frac{C}{(x+2)^2}\cdot x\stackrel{(x=0)}{\implies}\frac{4}{(0+2)^2}=A\implies A=1$$
2) Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \((x+2)^2\) und setze danach \(x=-2\) ein:$$\frac{4}{x}=\frac Ax\cdot (x+2)^2+B\cdot (x+2)+C\stackrel{(x=-2)}{\implies}\frac{4}{-2}=C\implies C=-2$$
3) Setze nun irgendeinen (möglichst einfachen) Wert für \(x\) ein, etwa \(x=1\):$$\frac{4}{9}=A+\frac{B}{3}+\frac{C}{9}=1+\frac{B}{3}-\frac29\implies\frac B3=\frac49+\frac29-1=-\frac39\implies B=-1$$
Damit haben wir folgende Zerlegung gefunden:$$\frac{4}{x^3+4x^2+4x}=\frac1x-\frac{1}{(x+2)}-\frac{2}{(x+2)^2}$$
und können das Integral sofort hinschreiben:$$\int\frac{4}{x^3+4x^2+4x}\,dx=\ln|x|-\ln|x+2|+\frac{2}{x+2}+\text{const}$$
