Reihenfolge eines Integrals bestimmen

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{S}^{} \) y^2 dx dy , S := {(x,y) ∈ R^2 :0 <= y <= x , 0 <= x <= 1}

Problem/Ansatz

Ich habe eine allgemeine Frage, wie kann man die Reihenfolge einen integral bestimmen? Also z. B. in integral oben \(\int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{0}^{x} \) y^2 dy dx ≠ \( \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{1} \) y^2 dx dy . also in mehrdimensional, wenn man mehr variabel hat. Und manchmal in andere Beispiel liefern die beiden Reihenfolge demselben Ergebnisse und manchmal nicht?

Answer 1

Aloha :)

Die obere Grenze des \(dy\)-Integrals hängt von \(x\) ab, denn \(y\in[0;x]\). Daher musst du zuerst über \(dy\) integrieren und dabei den Wert für \(x\) festhalten. Anschließend kannst du dann über \(dx\) integrieren:$$I=\iint\limits_Sy^2\,dS=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^xy^2\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^1\left[\frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^xdx=\int\limits_{x=0}^1\frac{x^3}{3}\,dx=\left[\frac{x^4}{12}\right]_{x=0}^1=\frac{1}{12}$$

Merke, du integrierst zuerst über die Variable, deren Grenzen von den meisten unterschiedlichen anderen Integrations-Variablen abhängen.

Answer 2

wie kann man die Reihenfolge einen integral bestimmen? Also z. B. in integral oben

Die kannst du selbst wählen.

\( \int\limits_{0}^{x} \int\limits_{0}^{1} \) y^2 dx dy

Im äußeren Integral darf die Integrationsvariable des inneren Integrals nicht auftauchen.

Wenn du zuerst nach \(x\) und dann nach \(y\) integrieren willst, dann musst du deshalb das Integrationsgebiet so beschreiben, dass in deiner Ungleichung für \(y\) kein \(x\) vorkommt. In deinem Beispiel geht das mittels

        \(\begin{aligned}0\leq y\leq 1\\y\leq x\leq 1\end{aligned}\)

also

        \( \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{y}^{1} y^2\,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\)