Aufgabe:
Wir ordnen der Dezimalzahldarstellung
\( 0, x_{1} x_{2} x_{3} \ldots \quad \text { mit } x_{k} \in\{0, \ldots, 9\} \text { für } k \in \mathbb{N} \)
die Zahl
\( \text { (*) } \quad x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} \cdot 10^{-k} \quad \text { zu. } \)
a) Zeigen Sie, dass \( x \in \mathbb{R} \) eindeutig bestimmt ist.
b) Zeigen Sie, dass es eine Dezimalzahldarstellung der Form (*) für \( x=1 \) gibt.
c) Es seien \( x, y \in[0,1] \) mit Dezimalzahldarstellungen
\( x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} \cdot 10^{-k} \quad \text { und } \quad y=\sum \limits_{k=1}^{\infty} y_{k} \cdot 10^{-k} \)
mit \( x_{k}, y_{k} \in\{0, \ldots, 9\} \) für \( k \in \mathbb{N} \). Desweiteren seien \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}},\left(y_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) unterschiedlich mit \( x_{k_{0}}>y_{k_{0}} \) für \( k_{0}:=\min \left\{k \in \mathbb{N} \mid x_{k} \neq y_{k}\right\} \). Beweisen Sie, dass genau dann \( x=y \) ist, wenn gilt:
\( x_{k}=0 \text { für } k \geq k_{0}+1, \quad y_{k}=9 \text { für } k \geq k_{0}+1, \quad x_{k_{0}}=y_{k_{0}}+1 \)
Problem/Ansatz:
Zu a) wäre bisschen Hilfe sehr nett. Ich habe keine Ahnung wie ich damit umgehen soll. Wenn ich a) habe, vermute ich, dass ich die andere schon allein schaffen kann. Tips und Tricks zu b) und c) wurden aber auch willkommen. Danke im Voraus!
