Aloha :)
$$I=\int\sin(\ln(x))\,dx=\;???$$Die Ableitung der inneren Funktion \(\ln(x)\) ist \(\frac1x\).
Daher schreiben wir das Integral um und führen eine partielle Integration durch:
$$I=\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\sin(\ln(x))}_{v'}\,dx=\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\int\cos(\ln(x))\,dx$$
Wir wiederholen diesen Schritt für das "neue" Integal:$$I=-x\cos(\ln(x))+\int \underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\cos(\ln(x))}_{v'}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx-\overbrace{\int \underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx}^{=I}$$
Das verbliebene Integral ist gleich unserem Ausgangsintegral \(I\), sodass gilt:$$2I=x\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$$$I=\frac x2\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$