0 Daumen
827 Aufrufe

Aufgabe: Ich soll hier die Stammfunktion folgender Funktion finden. Der Rechner liefert mir einen komplizierten Rechenweg, den ich nicht nachvollziehen kann. Kann jemand mir erklären, wie man hier am einfachsten die Stammfunktion bestimmt? Meinen Ansatz habe ich übrigens unten hochgeladen.


Problem/Ansatz:

b) \( \sin (\ln (x)) \)
\( \begin{array}{l} u=\ln (x) \\ \frac{d u}{d x}=\frac{1}{x} \\ d u=\frac{1}{x} d x \\ x d u=d x \\ \sin (u) d u=\frac{1}{x} \cdot \sin (u)= \\ \quad \frac{1}{x} \cdot \sin (\ln (x)) \end{array} \)

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Innere Ableitung \( \frac{1}{x} \)

Äußere Ableitung cos(ln(x))

Innere Ableitung ·außere Ableitung = \( \frac{cos(ln(x))}{x} \)

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

\(u:=\ln(x)\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx\Rightarrow dx=xdu\), also

\(\int \sin(ln(x))dx=\int\sin(u)xdu = \int \sin(u)e^u du\).

Nun zweimal partielle Integration ...

Avatar von 29 k

Wie kommst du auf e^u? Warum eine e-Funktion?

Wenn \(u=\ln(x)\) ist, dann ist \(e^u = x\).

Ich versteh' aber nicht von wo die e-funktion kommt.

Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion des ln.

Ich check's das immer noch nicht, warum ist x= e^u? Bin momentan verwirrt.

\(u=\ln(x)\Rightarrow e^u=e^{\ln(x)}=x\).

0 Daumen

Aloha :)

$$I=\int\sin(\ln(x))\,dx=\;???$$Die Ableitung der inneren Funktion \(\ln(x)\) ist \(\frac1x\).

Daher schreiben wir das Integral um und führen eine partielle Integration durch:

$$I=\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\sin(\ln(x))}_{v'}\,dx=\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\int\cos(\ln(x))\,dx$$

Wir wiederholen diesen Schritt für das "neue" Integal:$$I=-x\cos(\ln(x))+\int \underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\cos(\ln(x))}_{v'}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx-\overbrace{\int \underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx}^{=I}$$

Das verbliebene Integral ist gleich unserem Ausgangsintegral \(I\), sodass gilt:$$2I=x\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$$$I=\frac x2\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community