Stammfunktion bilden/bestimmen

Question

Aufgabe: Ich soll hier die Stammfunktion folgender Funktion finden. Der Rechner liefert mir einen komplizierten Rechenweg, den ich nicht nachvollziehen kann. Kann jemand mir erklären, wie man hier am einfachsten die Stammfunktion bestimmt? Meinen Ansatz habe ich übrigens unten hochgeladen.

Problem/Ansatz:

b) \( \sin (\ln (x)) \)
\( \begin{array}{l} u=\ln (x) \\ \frac{d u}{d x}=\frac{1}{x} \\ d u=\frac{1}{x} d x \\ x d u=d x \\ \sin (u) d u=\frac{1}{x} \cdot \sin (u)= \\ \quad \frac{1}{x} \cdot \sin (\ln (x)) \end{array} \)

Comments

Mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Innere Ableitung \( \frac{1}{x} \)

Äußere Ableitung cos(ln(x))

Innere Ableitung ·außere Ableitung = \( \frac{cos(ln(x))}{x} \)

Answer 2

\(u:=\ln(x)\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx\Rightarrow dx=xdu\), also

\(\int \sin(ln(x))dx=\int\sin(u)xdu = \int \sin(u)e^u du\).

Nun zweimal partielle Integration ...

Comments

Wie kommst du auf e^u? Warum eine e-Funktion?

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Wenn \(u=\ln(x)\) ist, dann ist \(e^u = x\).

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Ich versteh' aber nicht von wo die e-funktion kommt.

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Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion des ln.

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Ich check's das immer noch nicht, warum ist x= e^u? Bin momentan verwirrt.

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\(u=\ln(x)\Rightarrow e^u=e^{\ln(x)}=x\).

Answer 3

Aloha :)

$$I=\int\sin(\ln(x))\,dx=\;???$$Die Ableitung der inneren Funktion \(\ln(x)\) ist \(\frac1x\).

Daher schreiben wir das Integral um und führen eine partielle Integration durch:

$$I=\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\sin(\ln(x))}_{v'}\,dx=\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{(-\cos(\ln(x))}_{v}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\int\cos(\ln(x))\,dx$$

Wir wiederholen diesen Schritt für das "neue" Integal:$$I=-x\cos(\ln(x))+\int \underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x\cos(\ln(x))}_{v'}\,dx$$$$\phantom I=-x\cos(\ln(x))+\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx-\overbrace{\int \underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sin(\ln(x))}_{v}\,dx}^{=I}$$

Das verbliebene Integral ist gleich unserem Ausgangsintegral \(I\), sodass gilt:$$2I=x\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$$$I=\frac x2\left(\sin(\ln(x))-\cos(\ln(x))\right)$$