Question

Ist die Einheitsmatrix das Neutrale Element von Matrizen?

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Um über neutrale Elemente zu reden benötigt man zunächst eine Verknüpfung

Answer 1

Die Einheitsmatrix, auch Identitätsmatrix genannt, ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation. Sie hat die Form

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

für eine 3x3-Matrix und entspricht dem neutralen Element der Skalarmultiplikation 1 in der Algebra. Das bedeutet, dass die Einheitsmatrix bei der Matrixmultiplikation keine Veränderung bewirkt, sondern das Ergebnis unverändert lässt.

Ein Beispiel: Wir multiplizieren eine beliebige 3x3-Matrix A mit der Einheitsmatrix I:

$$A \cdot I = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} = A$$

Man kann also sagen, dass die Einheitsmatrix das neutrale Element der Matrixmultiplikation ist.

grüße GustavDerBraune