Es ist \(z= e^{i\phi}= \cos \phi + i\sin \phi\) mit \(\phi \in\left[0, \pi \right] \).
(a)
$$\begin{array}{rcl} \left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right| & = & \left| \int \limits_{0}^{\pi} e^{i \omega Re^{i\phi}} f(Re^{i\phi}) R e^{i\phi} d\phi \right| \\ & \stackrel{|zf(z)| \leq C}{\leq } & \int \limits_{0}^{\pi} \left|e^{i \omega R(\cos \phi + i\sin \phi)} f(Re^{i\phi}) R e^{i\phi}\right| d\phi \\ & \stackrel{|zf(z)| \leq C, |e^{i\omega R \cos \phi}|=1}{\leq } & C\int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi \end{array}$$
(b) Beachte:
Auf \(\left[0, \pi \right]\) ist \(\sin \phi \) symmetrisch bzgl. \(\phi= \frac{\pi}2\). Daher gilt
$$\int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi = 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi$$
Aufgrund der strengen Konkavität von \(\sin \phi\) auf \(\left[0, \frac{\pi}2 \right]\) liegt dort der Graph von \(\sin \phi\) oberhalb der Geraden durch \((0,0)\) und \((\frac{\pi}2,1)\) für \(\phi \in \left(0, \frac{\pi}2 \right)\). Das bedeutet
$$ \sin \varphi \geq \frac{2}{\pi} \phi \text{ für } \phi \in \left[0, \frac{\pi}2 \right]$$
Also
$$\begin{array}{rcl} \int \limits_{0}^{\pi} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi & = & 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\sin \phi} d\phi \\ & \leq & 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}2} e^{- \omega R\frac 2{\pi}\phi} d\phi \\ & = & 2 \left(-\frac{\pi}{2\omega R}\right)\left[e^{- \omega R\frac 2{\pi}\phi}\right]_0^{\frac{\pi}2} \\ & = & \frac{\pi}{\omega R}\left(1-e^{- \omega R}\right) \end{array}$$
(c) ist nun Pippifax:
$$ \left|\int \limits_{C_{R}} e^{i \omega z} f(z) d z\right| \stackrel{(a),(b)}{\leq} C\frac{\pi}{\omega R}\left(1-e^{- \omega R}\right) \stackrel{R\to\infty}{\longrightarrow}0$$
