Beweisen oder widerlegen Sie duale Basis

Question

Sei \( V \) ein zwei-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( \underline{B} \) eine Basis von \( V \). Eine lineare Abbildung \( f: V \rightarrow V \) heißt Drehung bezüglich \( \underline{\text { B}} \), wenn Mat \( \frac{\underline{\mathrm{B}}}{}(f) \) von der Gestalt
\( \left(\begin{array}{cc} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right) \)
für ein \( \theta \in[0,2 \pi) \) ist. Ist \( f \) eine Drehung bezüglich einer Basis \( \underline{\mathrm{B}} \), so ist die duale Abbildung \( f^{*}: V^{*} \rightarrow V^{*} \) eine Drehung bezüglich der dualen Basis \( \underline{\mathrm{B}}^{*} \) von \( \underline{\mathrm{B}} \).

Guten Morgen oder Abend,

kann mir wer bitte zeigen wie ich die obige Aufgabe beweisen oder widerlegen kann. LG

Comments

Die Frage ist, ob Ihr folgenden Satz kennt: Wenn A die darstellende Matrix zu f bezüglich der Basis B ist, dann hat die duale Abbildung bezüglich der dualen Basis die darstellende Matrix \(A^T\). Das wäre in diesem Fall eine Drehung mit Drehwinkel \(-\theta\).

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Wenn man mit diesem Satz arbeiten darf, wie würde man dann die Aussage beweisen?

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Bilde von der angegebenen Matrix die transponierte Matrix?

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vielen Dank! :)