Berechne folgenden Limes von (2-cos(5/x))^x

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) (2 - cos\( \frac{5}{x} \)) ^x

Problem:

Kann man diesen Grenzwert irgendwie mithilfe von Taylor oder l'hospital lösen? Versuche es schon die ganze Zeit, scheitere aber jedes mal.

Habe folgenden Ansatz:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) ln(2 - cos\( \frac{5}{x} \))/(\( \frac{1}{x} \))

Comments

Verwende:

a^x = e^(x*lna)

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Hi, danke für die schnelle Hilfe,

von deinem Tipp hatte ich schon gebrauch gemacht. (Also falls ich es richtig gemacht habe) siehe meinen Ansatz:

Habe folgenden Ansatz:\( \lim\limits_{x\to\infty} \) ln(2 - cos\( \frac{5}{x} \))/(\( \frac{1}{x} \))

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Wo tritt dann ein Problem auf, wenn Du auf diesen Term die Regel von L'H anwendest?

Answer 1

Hier ist ein L'Hospital-Weg mit einem kleinen Trick, der die Rechnungen vereinfacht.

Trick: Setze \(t = \frac 1x\). Dann gilt

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(2-\cos \frac 5x\right)^x = \lim_{t\to0^+}\left(2-\cos 5t\right)^{\frac 1t}\)

Jetzt Logarithmieren und den Standard-Grenzwert \(\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\ln (1+u)}{u} = 1\) benutzen:

$$\begin{array}{rcl} \frac 1t \ln\left( 2-\cos 5t\right) & = &  \frac 1t \ln\left( 1 + (1-\cos 5t)\right) \\ & = & \underbrace{\frac{\ln\left( 1 + (1-\cos 5t)\right)}{1-\cos 5t}}_{\stackrel{t\to0}{\rightarrow}1}\cdot \underbrace{\frac{1-\cos 5t}{t}}_{\stackrel{\stackrel{L'Hosp.,\;}{t\to 0}}{\longrightarrow}0} \\ &\stackrel{t\to0}{\rightarrow} & 0\end{array}$$

Daher \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(2-\cos \frac 5x\right)^x = \lim_{t\to0^+}\left(2-\cos 5t\right)^{\frac 1t} = e^0 = 1\)