Um die Behauptung zu überprüfen, können wir eine andere Reihenfolge der Ziffern wählen. Zum Beispiel:
12341412 → 43211214 → 12343214 → 34121214 → 12341214
Wir sehen, dass das Ergebnis auch hier ohne Rest durch 9 teilbar ist.
Für Knecht Ruprecht können wir die Berechnungen wie folgt durchführen:
23301435 → 33014235 → 30142335 → 01423325 → 42332501 → 23325014 → 33250142 → 32501423 → 25014235 → 50142353 → 01423535 → 42353501 → 23535014 → 35350142 → 53501423 → 35014235 → 50142353
Wieder sehen wir, dass das Ergebnis ohne Rest durch 9 teilbar ist.
Um zu zeigen, dass die obige Aussage für beliebige Ziffernfolgen gilt, können wir eine Induktion durchführen. Wir nehmen an, dass die Aussage für eine beliebige Ziffernfolge mit n Ziffern gilt. Wir wollen zeigen, dass sie auch für eine Ziffernfolge mit n+1 Ziffern gilt.
Wir nehmen an, dass die Ziffernfolge ohne Rest durch 9 teilbar ist, wenn wir sie in beliebiger Reihenfolge anordnen, die beiden Zahlen subtrahieren und Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.
Wenn wir nun eine weitere Ziffer hinzufügen, können wir sie ebenfalls in beliebiger Reihenfolge anordnen und die beiden Zahlen subtrahieren. Das Ergebnis wird eine Ziffernfolge mit n Ziffern sein, für die wir bereits gezeigt haben, dass sie ohne Rest durch 9 teilbar ist, wenn wir Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.
Daher ist auch die Ziffernfolge mit n+1 Ziffern ohne Rest durch 9 teilbar, wenn wir Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.
Durch die Induktion können wir zeigen, dass die obige Aussage für beliebige Ziffernfolgen gilt.