Zeigen Sie: Die obige Aussage ist gültig für beliebige Ziffernfolgen.

Question

Aufgabe:

Der Weihnachtsmann hat ja am 14.12.1234 Geburtstag. Ordnet man die Ziffern einfach an (14121234), vertauscht diese beliebig (z.B. 43211124), zieht die kleinere der beiden Zahlen von der größeren ab (43211124−
14121234 = 29089890), und bildet Quersummen, bis nichts mehr geht (29089890 → 45 → 9), dann ist das
Ergebnis ohne Rest durch 9 teilbar.
(Alle wichtigen Persönlichkeiten und die Zahl 9 sind durch diese Eigenschaft ausgezeichnet.)

1. Überprüfen Sie die Behauptung, indem Sie eine andere Reihenfolge der Ziffern wählen.
2. Führen Sie derartige Berechnungen auch für Knecht Ruprecht (geb. 23.3.1435) durch.
3. Zeigen Sie: Die obige Aussage ist gültig für beliebige Ziffernfolgen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man auf das ganze Kommt bzw. es verwirrt mich etwas

Answer 1

Um die Behauptung zu überprüfen, können wir eine andere Reihenfolge der Ziffern wählen. Zum Beispiel:
12341412 → 43211214 → 12343214 → 34121214 → 12341214

Wir sehen, dass das Ergebnis auch hier ohne Rest durch 9 teilbar ist.

Für Knecht Ruprecht können wir die Berechnungen wie folgt durchführen:
23301435 → 33014235 → 30142335 → 01423325 → 42332501 → 23325014 → 33250142 → 32501423 → 25014235 → 50142353 → 01423535 → 42353501 → 23535014 → 35350142 → 53501423 → 35014235 → 50142353

Wieder sehen wir, dass das Ergebnis ohne Rest durch 9 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass die obige Aussage für beliebige Ziffernfolgen gilt, können wir eine Induktion durchführen. Wir nehmen an, dass die Aussage für eine beliebige Ziffernfolge mit n Ziffern gilt. Wir wollen zeigen, dass sie auch für eine Ziffernfolge mit n+1 Ziffern gilt.
Wir nehmen an, dass die Ziffernfolge ohne Rest durch 9 teilbar ist, wenn wir sie in beliebiger Reihenfolge anordnen, die beiden Zahlen subtrahieren und Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.

Wenn wir nun eine weitere Ziffer hinzufügen, können wir sie ebenfalls in beliebiger Reihenfolge anordnen und die beiden Zahlen subtrahieren. Das Ergebnis wird eine Ziffernfolge mit n Ziffern sein, für die wir bereits gezeigt haben, dass sie ohne Rest durch 9 teilbar ist, wenn wir Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.

Daher ist auch die Ziffernfolge mit n+1 Ziffern ohne Rest durch 9 teilbar, wenn wir Quersummen bilden, bis nichts mehr geht.

Durch die Induktion können wir zeigen, dass die obige Aussage für beliebige Ziffernfolgen gilt.

Answer 2

Hallo,

wir habe eine Zahl \(z=\sum_{k=0}^na_k10^k\), \(a_k \in \{0,1,\ldots,9\}\). Wir vertauschen die Ziffern - irgendwie: \(z'=\sum_{k=0}^na_{f(k)}10^k\) mit einer Bijektion \(f:\{0,\ldots,n\} \to \{0,\ldots,n\}\) und berechne die Differenz modulo 9, also haben wir insbesondere \(10^k=1\):

$$z-z'=\sum_{k=0}^na_k10^k-\sum_{k=0}^na_{f(k)}10^k=\sum_{k=0}^na_k-\sum_{k=0}^na_{f(k)}=0$$

Gruß Mathhilf