Hallo,
zeige, dass die angegebene Menge von Matrizen linear unabhängig ist. Dazu betrachten wir eine Linearkombination der \(E_{ij}\), also \(s_{ij} \in K\), die die Null-Matrix \(N\) ergibt::
$$N=\sum_{i,j=1}^ns_{ij}E_{ij}$$
Jetzt stehen links und rechts Matrizen. Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in jeder Komponente gleich sind. Wir betrachten die Komponente mit dem Index \((k,m)\):
$$0=N_{km}=\sum_{i,j=1}^ns_{ij}(E_{ij})_{km}=s_{km}(E_{km})_{km}=s_{km}$$
Die letzte Gleichung gitl, weil ja bei allen Matrizen \(E_{ij}\) die Komponente mit dem Index \((k,m)\) gleich 0 ist - außer bei der Matrix \(E_{km}\), da ist sie 1.
Also haben wir gezeigt, dass in einer Linearkombination der \(E_{ij}\), die die Null-Matrix ergibt, alle Koeffizienten gleich 0 sind. Nun bleibt noch zu zeigen, dass diese Matrizen den ganzen Raum der Matrizen aufspannen, dass also jede Matrix A mit Komponenten \(a_{ij}\) Linearkombination der \(E_{ij}\) ist. Mit einer analogen Überlegung wie oben, sieht man:
$$A=\sum_{i,j=1}^na_{ij}E_{ij}$$
Gruß mathhilf
