Aufgabe:
Seien \( V \) und \( W \) zwei \( K \)-Vektorräume und \( \phi: V^{n} \rightarrow W \) eine multilineare Abbildung. Zeigen Sie:
(i) Die Abbildung \( \phi \) ist genau dann alternierend, wenn \( \phi\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=0 \) für alle \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) gilt, für welche ein \( i \in\{1, \ldots, n-1\} \) mit \( v_{i}=v_{i+1} \) existiert.
(ii) Die Abbildung
\( A_{\phi}: V^{n} \longrightarrow W, \quad A_{\phi}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\sum \limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \phi\left(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(n)}\right) \) ist multilinear und alternierend.
(iii) Ist \( \phi \) alternierend, so gilt \( A_{\phi}=n ! \cdot \phi \).
