Seien α, β ∈ Z[i] und seien N(α), N(β) teilerfremd in Z. Zeigen Sie, dass dann α und β teilerfremd in Z[i] sind.

Question

Sei N die euklidische Normfunktion und ℤ[i] ein Ring.

Seien α, β ∈ ℤ[i] und seien N(α), N(β) teilerfremd in ℤ. Zeigen Sie, dass dann α und β teilerfremd in ℤ[i] sind.

Ich bräuchte dringend Hilfe bei dem Beweis. Danke schon mal im voraus. :)

Answer 1

Hier kommt man am schnellsten mit dem Lemma von Bezout zum Ziel:

In einem Hauptidealring \(R\) gilt für \(a,b\in R\):

ggT(\(a,b)=1 \iff \exists x,y\in R:\; ax+by=1\).

\(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Z}[i]\) sind Hauptidealringe, daher

ggT(\(N(\alpha),N(\beta))=1\Rightarrow \exists x,y\in \mathbb{Z}:\)

\(N(\alpha)x+N(\beta)y=1\).

Wegen \(N(\alpha)=\alpha\overline{\alpha}\) und \(N(\beta)=\beta\overline{\beta}\) folgt

\(\alpha(\overline{\alpha}x)+\beta(\overline{\beta}y)=1\).

Wegen \(\overline{\alpha}x,\overline{\beta}y\in \mathbb{Z}[i]\) folgt aus dem

Lemma von Bezout in \(\mathbb{Z}[i]\): ggT(\(\alpha,\beta)=1\).

Comments

Vielen Dank!