konvergieren die folgenden uneigentliche Integrale?

Question

es handelt sich wieder um die folgende Aufgabenstellung:

Aufgabe: konvergieren die folgenden uneigentliche Integrale?

k) \( \int \limits_{-\infty}^{\infty}(x+4) \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x \)

k)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{c}(x+4) e^{-|x|} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{c}^{b}(x+4) e^{-|x|} d x \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot e^{-|x|}-\int \limits_{a}^{c} 1 \cdot e^{-|x|} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}(x+4) \cdot e^{-|x|}-\int \limits_{c}^{b} 1 \cdot e^{-|x|} d x \)
\( \left.\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left((x+4) \cdot e^{-|x|}+e^{-|x|}\right)\right|_{a} ^{c}+\left.\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left((x+4) e^{-|x|}+e^{-|x|}\right)\right|_{c} ^{b} \)

Problem/Ansatz:

Diesmal bin ich stecken geblieben. Soll ich da wirklich als Grenze C und a einsetzen bzw. b und c? Und stimmt die Schreibweise so? Darf ich den Limes vor dem Integralzeichen setzen?

Answer 1

Was soll das Gehampel mit einem nicht näher definierten c?

Verwende konkret c=0, dann kannst du auch die Beträge fallweise eliminieren und bekommst vernünftige Stammfunktionen.

Comments

Stimmt, das mit der 0 ist mir gar nicht eingefallen.

Also dann so ? Ist das so korrekt ?

k) \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \underbrace{(x+4)}_{u} \underbrace{e^{-|x|}}_{r^{\prime}} d x= \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0}(x+4) e^{-|x|} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot e^{-|x|}-\int \limits_{a}^{\infty} 1 \cdot e^{-|x|} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}(x+4) \cdot e^{-|x|}-\int \limits_{0}^{b} 1 \cdot e^{-|x|} d x \)
\( \left.\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left((x+4) \cdot e^{-|x|}+e^{-|x|}\right)\right|_{a} ^{0}+\left.\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left((x+4) e^{-|x|}+e^{-|x|}\right)\right|_{0} ^{b} \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left((0+4) \cdot e^{-|0|}+e^{-|0|}-\left((a+4) \cdot e^{-|a|}+e^{-|a|}\right)+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left((b+4) e^{-|b|}+e^{-|b|}\right.\right. \)
\( \left((0+4) e^{-|0|}+e^{-|0|}\right. \))
\( =\lim \limits_{a \rightarrow-\infty} 4+1-\underbrace{(a+4) \cdot e^{-|a|}}_{0}+\underbrace{e^{-|a|}}_{0}+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \underbrace{(b+4) e^{-|b|}}_{=0}+\underbrace{e^{-|b|}}_{=0}-4+1 \)
\( =5-3=2 \) -> konvergent

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Hab‘s noch einmal ausgerechnet, diesmal komme ich auf ein anderes Ergebnis. Könnte jemand mal einen Blick werfen bitte?

k)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{-\infty}^{0}(x+4) e^{-|x|}=\lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0}(\underbrace{}_{a}(x+4) \underbrace{e^{-|x|}}_{v^{1}} d x \\ \begin{array}{ll} u=x+4 & u^{\prime}=1 \\ v=-e^{-|x|} & v^{\prime}=e^{-|x|} \end{array} \\ \end{array} \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\int \limits_{a}^{0} 1 \cdot\left(-e^{-|x|}\right) d x \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left(-x e^{-|x|}-4 e^{-|x|}\right)-\left.e^{-|x|}\right|_{a} ^{0}= \)
\( \left.\left(-0 \cdot e^{-|0|}-4 e^{-|0|}\right)-e^{-|0|}\right)- \)
\( \left(-a \cdot e^{-|a|}-4 e^{-|a|}-e^{-|a|}\right)= \)
\( 0-4-1-0=-5 \)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b}(x+4) e^{-x} d x \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\left.e^{-|x|}\right|_{0} ^{b}= \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left(-b e^{-|b|}-4 e^{-|b|}-e^{-|b|}\right)- \\ \left(0 \cdot e^{-|0 \mid}-4 e^{-|0 \mid}-e^{-|0|}\right)=-5 \end{array} \)

Text erkannt:

k)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{-\infty}^{0}(x+4) e^{-|x|}=\lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0}(\underbrace{}_{a}(x+4) \underbrace{e^{-|x|}}_{v^{1}} d x \\ \begin{array}{ll} u=x+4 & u^{\prime}=1 \\ v=-e^{-|x|} & v^{\prime}=e^{-|x|} \end{array} \\ \end{array} \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\int \limits_{a}^{0} 1 \cdot\left(-e^{-|x|}\right) d x \)
\( \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left(-x e^{-|x|}-4 e^{-|x|}\right)-\left.e^{-|x|}\right|_{a} ^{0}= \)
\( \left.\left(-0 \cdot e^{-|0|}-4 e^{-|0|}\right)-e^{-|0|}\right)- \)
\( \left(-a \cdot e^{-|a|}-4 e^{-|a|}-e^{-|a|}\right)= \)
\( 0-4-1-0=-5 \)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b}(x+4) e^{-x} d x \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\left.e^{-|x|}\right|_{0} ^{b}= \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left(-b e^{-|b|}-4 e^{-|b|}-e^{-|b|}\right)- \\ \left(0 \cdot e^{-10 \mid}-4 e^{-10 \mid}-e^{-|0|}\right)=-5 \end{array} \)

Ergebnis: -10 —> konvergent

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Welchen Teil von

dann kannst du auch die Beträge fallweise eliminieren

hast du nicht verstanden?

Schreibe den Term (x+4)*exp(-|x|) für den Fall x<0 erst mal vernünftig (d.h. ohne Verwendung von Betragstrichen) auf, bevor du daran denkst, davon eine Stammfunktion zu bilden.

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Ich glaube, ich weiß wo es hapert.

\( e^{unendlich} \) = unendlich. Ich dachte, dass e^unendlich=0 ergibt, deswegen hat es bei mir ständig divergiert. Stimmt meine Überlegung jetzt? Und ja, die Terme eliminieren sich auch bzw. wenn ich die 0 einsetzte, dann fallen die weg.

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Ich glaube, ich weiß wo es hapert.\( e^{unendlich} \) = unendlich.

Na und? Es geht doch fast überall um e hoch MINUS unendlich.

Und du eierst immer noch mit BETRAG von x im Exponenten rum.

Das nenne ich Beratungsresistenz.

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Warte abakus, ich lass mal die Beträge weg und bilde davon die Stammfunktion. Ich lade die Rechnung dann hoch.

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Ich greife hier wieder zurück. Hatte vergessen meine Rechnung hochzuladen. Passt die Rechnung soweit oder gibt’s da was auszubessern?

k)
\( \begin{aligned} \int \limits_{-\infty}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x & =\lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{a} \underbrace{(x+4)}_{u} e^{-|x|} d x \\ & +\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{(x+4)} \underbrace{(x+4)e-|x|} d x= \end{aligned} \)

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\int \limits_{a} 1 \cdot\left(-e^{-|x|}\right) d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot\left(-e^{-|x|}\right)-\left[e^{-|x|}\right]_{a}^{0} \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}(x+4) \cdot \underbrace{\left(-e^{-|x|}\right.}_{0})-\underbrace{\left(e^{-0}\right.}_{1}-\underbrace{e^{-a}}_{0})=-1 \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}(\underbrace{(x+4)}_{\infty} \cdot \underbrace{\left(-e^{-|x|}\right.}_{0})-\underbrace{\left[e^{-|x|}\right]_{0}^{b}}_{0}=1\end{array} \)

Als Ergebnis kommt 0 heraus, d.h. es divergiert.

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Könnte BITTE jemand mal einen Blick werfen? Ich habe die Aufgabe gefühlt 10 x gerechnet und bekomme als Lösung 10 heraus, obwohl der Rechner eine andere Lösung vorschlägt. Ich kann aber nicht nachvollziehen warum meine Lösung falsch sein sollte...

\( \begin{array}{l}u=x+4 \quad u^{\prime}=1 \\ v=-e^{-|x|} \quad v^{\prime}=e^{-|x|} \\ -e^{-|x|} \cdot(x+4)-\int\left(-e^{-|x|}\right) d x= \\ -e^{-|x|}(x+4)-e^{-|x|} \text {. } \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty} 2 \cdot \int \limits_{0}^{b}(x+4) e^{-|x|} d x= \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-e^{-|x|}(x+4)-e^{-|x|}\right]_{0}^{b} \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-e^{-|b|}(b+4)-e^{-|b|}-\left(-e^{-0}(0+4)\right.\right. \\ \left.\left.-e^{-0}\right)\right] \\ =-(-4-1)=5 \\ 2 \cdot 5=10 \\\end{array} \)

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Am 26. Dezember 2022:

ich lass mal die Beträge weg und bilde davon die Stammfunktion. Ich lade die Rechnung dann hoch.

Zwei Monate später postest du eine Rechnung ,in der immer noch |x| im Exponenten steht.

Übrigens: Der Funktionsgraf ist NICHT symmetrisch zur y-Achse. Deshalb kannst du nicht einfach von 0 bis unendlich integrieren und das Ergebnis verdoppeln.

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abaskus, ich verstehe nicht, warum ich die Betragsstriche eliminieren soll...

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Könnte eventuell jemand anderer weiterhelfen?

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Der Wert des Integrals ist 8:

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+%28x%2B4%29*e%5E%28-%7Cx%7C%29+from+-oo+to+%2Boo

Du kannst Teilintegrale bilden von -oo bis 0 und 0 bis +oo

Der 1.Faktor ist für positive und negative x nicht derselbe.

Daher kann keine Symmetrie vorliegen.

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abaskus, ich verstehe nicht, warum ich die Betragsstriche eliminieren soll...

Weil das hier

\( v=-e^{-|x|} \quad v^{\prime}=e^{-|x|} \)

völliger Unfug ist.

|x| ist definiert als

|x|=x für x≥0  und |x|=-x für x<0.

Wenn also x<0 ist, gilt

\(v=-e^{-|x|}=-e^{-(-x)}=-e^{x}\).

Die Ableitung DAVON ist auch \(-e^x\) und somit nicht dein \(  v^{\prime}=e^{-|x|} \).

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Also so komme ich nun auf das richtige Ergebnis:

\( \begin{array}{l}\text { k) } \int \limits_{-\infty}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x= \\ =\int \limits_{-\infty}^{0}(x+4) e^{-|x|} d x+\int \limits_{0}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x= \\ \text { 1. FaU: } x<0 \Rightarrow-(x)=-x \\ \text { 2. Fall: } x \geqslant 0 \Rightarrow x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0}(x+4) e^{-|x|} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b}(x+4) e^{-|x|} d x \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0} \underbrace{(x+4)}_{u} \underbrace{e^{x}}_{v^{\top}} d x+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b} \underbrace{(x+4)}_{V^{l}} \underbrace{e^{-x}} d x= \\ u=x+4 \quad \mu^{\prime}=1 \\ v=e^{x} \quad v^{\prime}=e^{x} \\ v=-e^{-x} \quad v^{\prime}=e^{-x} \\\end{array} \)

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[e^{x}(x+4)-\int \limits_{a}^{0} e^{x} d x\right]= \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[e^{x}(x+4)-e^{x}\right]_{a}^{0}= \\ {\left[e^{0}(0+4)-e^{0}-e^{a}(a+4)+e^{a}\right]=} \\ {\left[\lim \limits_{0}-1\right]=3^{b}} \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b}(x+4) e^{-x} d x= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-e^{-x} \cdot(x+4)-\int-e^{-x} d x\right]= \\ {\left[-e^{-x}(x+4)-e^{-x}\right]_{0}^{b}=} \\ {\left[-e^{-b}(b+4)-e^{-b}+e^{-0}(0+4)+e^{-0}\right]=} \\ {[0-0+4+1]=5} \\ \int \limits_{-\infty}^{\infty}(x+4) e^{-|x|} d x=3+5=8\end{array} \)

Leider sind nicht alle Schritte in die Textdatei richtig umgeformt worden, aber ich hoffe, man kann trotzdem die Rechnung gut nachvollziehen.

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Noch eine Frage: Kann ich bei solchen ähnlichen Aufgaben immer so vorgehen? Also dass ich zuerst die Fallunterscheidung machen und dann die Integrale aufteile?