Finden Sie zu den untenstehenden linearen Abbildungen L jeweils eine Matrix A , sodass L=L_{A} .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Finden Sie zu den untenstehenden linearen Abbildungen \( L \) jeweils eine Matrix \( A \), sodass \( L=L_{A} \).
(i) \( \quad L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 3 x_{2} \\ x_{1}-x_{3} \\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+x_{4}\end{array}\right) \);

Problem/Ansatz:

Hey komme mit dieser Aufgabe leider gar nicht zurecht. Würde mich über einen Ansatz sehr freuen, damit ich endlich diese Aufgaben lösen kann :)

MfG

Comments

Zusätzlich wird gefragt, ob die Abbildung bijektiv ist. Wie ist das herauszufinden?

Answer 1

\( \quad L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 3 x_{2} \\ x_{1}-x_{3} \\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+x_{4}\end{array}\right) \)

Bedenke

\(\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{3}+2 x_{4} \\ 3 x_{2} \\ x_{1}-x_{3} \\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+x_{4}\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{c}1&0&1&2 \\0&3&0&0 \\1&0&-1&0 \\1&3&-1&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4\end{array}\right)  \)

und du hast die Matrix.

Comments

cool danke das habe ich verstanden. zusätzlich wird gefragt, ob die Abbildungen bijektiv sind. Weißt du, wie man das herausfindet?

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Das ist erfüllt, wenn die Matrix den Rang 4 hat.

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Ist die Invertierbarkeit das gleiche wie die bijektivität? und sagt die Berechnung des Ranges etwas über die Invertierbarkeit und somit bijektivität der Matrix aus?

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Eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen

Vektorräumen ist bijektiv, wenn die zugehörige

Matrix invertierbar ist.

Das ist dann der Fall, wenn der Rang gleich der

Zeilenzahl ist oder auch

Determinante≠0 ist ein Kriterium.

Answer 2

Hallo

die Spalten der Matrix sind die Bilder der  geordneten Standardbasis  von R^4, die ja leicht zu finden sind.

Gruß lul