Begründen Sie die folgenden Eigenschaften der Determinante für 2 \times 2 Matrizen.

Question

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Begründen Sie die folgenden Eigenschaften der Determinante für \( 2 \times 2 \) Matrizen.
a) Die Abbildung det: \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R} \), \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right):=a d-b c \) ist linear in jeder Zeile, d. h.:
i. \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}a+a^{\prime} & b+b^{\prime} \\ c & d\end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a^{\prime} & b^{\prime} \\ c & d\end{array}\right) \) und entsprechend für die zweite Zeile.
ii. \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}\lambda a & \lambda b \\ c & d\end{array}\right)=\lambda \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \) und entsprechend für die zweite Zeile.
b) Falls \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) zwei gleiche Zeilen hat, so gilt \( \operatorname{det}(A)=0 \).
c) Die Abbildung det ist normiert, d. h. \( \operatorname{det}(I)=1 \), wobei \( I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) die Einheitsmatrix ist.
d) Begründen Sie mit a) bis c): Die Abbildung det ist alternierend, d. h. entsteht \( A^{\prime} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) durch Vertauschen zweier Zeilen von \( A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \), so gilt \( \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=-\operatorname{det}(A) \).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich a), c) und d) begründen bzw beweisen?

Answer 1

a) Einfach nachrechnen:

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}a+a^{\prime} & b+b^{\prime} \\ c & d\end{array}\right) \)  nach der Definition:

= (a+a')d - (b+b')c = ad+a'd - bc - b'c = ad-bc + a'd-b'c

\( =\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a^{\prime} & b^{\prime} \\ c & d\end{array}\right) \)

Die anderen entsprechend.

c)  \(    \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)

    = 1*1-0*0 = 1  .

d)  Du brauchst doch nur \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \) und \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} c & d\\a & b \end{array}\right)\) auszurechnen.

Comments

und die d) ?

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Was bekommst du denn beim Ausrechnen ?

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Hab das alles so aber beim begründen von der d)

Die soll ich mit a) - c) begründen

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Ach so, das hatte ich überlesen. Geht so: (wegen b):

\( 0=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a+c & b+d \\ a+c & b+d\end{array}\right) \)  wegen a) 

\(= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a+c & b+d\end{array}\right) + \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a+c & b+d\end{array}\right)  \)

Bei beiden nochmal a) in der 2. Zeile anwenden:

\(= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a & b\end{array}\right) + \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right) +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ c & d\end{array}\right) \)

Wegen b)

\(= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a & b\end{array}\right) + 0 +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right) +0 \)

\(= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a & b\end{array}\right)  +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right) \)

Und wegen \(0 = \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a & b\end{array}\right)  +\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right) \)

gilt also auch \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}a & b \\ a & b\end{array}\right) = -\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}c & d \\ a & b\end{array}\right) \)

Answer 2

Zu (a.i):

Es ist \((a+a')d-(b+b')c=ad+a'd-bc-b'c=(ad-bc)+(a'd-b'c)\), analog für die
zweite Zeile.

Zu (a.ii):

Es ist \((\lambda a)d-(\lambda b)c=\lambda \cdot ad - \lambda \cdot bc=\lambda\cdot(ad-bc)\),
analog für die zweite Zeile.

Zu (c):

\(1\cdot 1 - 0\cdot 0=1\)

Zu (d):

\(cb-da=-(ad-bc)\)

Frage: Und wo steckte dein Problem ?

Comments

Beim begründen von der d)

Die soll ich mit a) - c) begründen