Äquivalenz Rang/Nullteiler

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper, U ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ: U → U ein Endomorphismus.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) rank(φ) < dimK(U).
(ii) φ ist ein Links-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein ψ ∈ EndK(U), ψ ≠ 0, mit
φ ◦ ψ = 0.
(iii) φ ist ein Rechts-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein χ ∈ EndK(U), χ ≠ 0, mit
χ ◦ φ = 0.

Problem/Ansatz:

für ii) -> i) haben wir schon einen Beweis

für i) -> ii) wissen wir dass die zu konstruierende Abbildung einen von 0 verschiedenen basisvektor aus ker φ haben muss. Danach wissen wir nicht weiter

für i)<—>iii) sind unsere Ideen leider noch zu unpräzise

Answer 1

für i) -> ii) wissen wir dass die zu konstruierende Abbildung einen von 0 verschiedenen basisvektor aus ker φ haben muss.

Vielleicht so:

Sei k=rank(φ) < dim_K(U)=n .  ==>  dim (Kern(φ) ) = n-k > 0 .

Also gibt es eine Basis \(  u_1,\dots,u_k \) von Kern(φ).

Ergänze diese durch \(  u_{k+1},\dots,u_n \) zu einer Basis von U.

Definiere nun \( ψ : U \mapsto U \) durch \( ψ(u_i) = u_i \) für i≤k und \( ψ(u_i) = 0 \) sonst.

Dann ist ψ wohldefiniert, weil auf den Elementen einer Basis von U festgelegt.

Und es ist ψ ≠0, weil zumindest für u₁ das Bild \( ψ(u_1) = u_1 \) ≠ 0 , weil

u₁ ein Basisvektor ist.

Und es gilt für alle 1≤i≤k \( (φoψ)(u_i) = φ(u_i)=0 \), da u_i ∈ Kern (φ)

und für k≤i≤n \( (φoψ)(u_i) = φ(0)=0 \). Also insgesamt φoψ=0, weil

für alle Elemente einer Basis die Bilder 0 sind.

Für i <=> iii muss man sich vielleicht eher auf Bild(φ) statt Kern(φ)

konzentrieren ???