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Aufgabe:

Es sei K ein Körper, U ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und φ: U → U ein Endomorphismus.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) rank(φ) < dimK(U).
(ii) φ ist ein Links-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein ψ ∈ EndK(U), ψ ≠ 0, mit
φ ◦ ψ = 0.
(iii) φ ist ein Rechts-Nullteiler in EndK(U), d.h. es existiert ein χ ∈ EndK(U), χ ≠ 0, mit
χ ◦ φ = 0.

Problem/Ansatz:

für ii) -> i) haben wir schon einen Beweis

für i) -> ii) wissen wir dass die zu konstruierende Abbildung einen von 0 verschiedenen basisvektor aus ker φ haben muss. Danach wissen wir nicht weiter

für i)<—>iii) sind unsere Ideen leider noch zu unpräzise

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für i) -> ii) wissen wir dass die zu konstruierende Abbildung einen von 0 verschiedenen basisvektor aus ker φ haben muss.

Vielleicht so:

Sei k=rank(φ) < dimK(U)=n .  ==>  dim (Kern(φ) ) = n-k > 0 .

Also gibt es eine Basis u1,,uk u_1,\dots,u_k von Kern(φ).

Ergänze diese durch uk+1,,un u_{k+1},\dots,u_n zu einer Basis von U.

Definiere nun ψ : UU ψ : U \mapsto U durch ψ(ui)=ui ψ(u_i) = u_i für i≤k und ψ(ui)=0 ψ(u_i) = 0 sonst.

Dann ist ψ wohldefiniert, weil auf den Elementen einer Basis von U festgelegt.

Und es ist ψ ≠0, weil zumindest für u1 das Bild ψ(u1)=u1 ψ(u_1) = u_1  ≠ 0 , weil

u1 ein Basisvektor ist.

Und es gilt für alle 1≤i≤k (φoψ)(ui)=φ(ui)=0 (φoψ)(u_i) = φ(u_i)=0 , da ui ∈ Kern (φ)

und für k≤i≤n (φoψ)(ui)=φ(0)=0 (φoψ)(u_i) = φ(0)=0 . Also insgesamt φoψ=0, weil

für alle Elemente einer Basis die Bilder 0 sind.

Für i <=> iii muss man sich vielleicht eher auf Bild(φ) statt Kern(φ)

konzentrieren ???

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