für i) -> ii) wissen wir dass die zu konstruierende Abbildung einen von 0 verschiedenen basisvektor aus ker φ haben muss.
Vielleicht so:
Sei k=rank(φ) < dimK(U)=n . ==> dim (Kern(φ) ) = n-k > 0 .
Also gibt es eine Basis u1,…,uk von Kern(φ).
Ergänze diese durch uk+1,…,un zu einer Basis von U.
Definiere nun ψ : U↦U durch ψ(ui)=ui für i≤k und ψ(ui)=0 sonst.
Dann ist ψ wohldefiniert, weil auf den Elementen einer Basis von U festgelegt.
Und es ist ψ ≠0, weil zumindest für u1 das Bild ψ(u1)=u1 ≠ 0 , weil
u1 ein Basisvektor ist.
Und es gilt für alle 1≤i≤k (φoψ)(ui)=φ(ui)=0, da ui ∈ Kern (φ)
und für k≤i≤n (φoψ)(ui)=φ(0)=0. Also insgesamt φoψ=0, weil
für alle Elemente einer Basis die Bilder 0 sind.
Für i <=> iii muss man sich vielleicht eher auf Bild(φ) statt Kern(φ)
konzentrieren ???