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(4) \( \left(1+3+3+3\right. \) Punkte) Es sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( q \) eine Primzahlpotenz. Außerdem sei \( \mathbb{F}_{q} \) ein Körper mit \( q \) Elementen.
(a) Wie viele Elemente hat der \( \mathbb{F}_{q} \)-Vektorraum \( \mathbb{F}_{q}^{n} \) ?
(b) Es sei \( 1 \leq k \leq n \). Zeigen Sie, dass es genau
\( \left(q^{n}-1\right)\left(q^{n}-q\right) \ldots\left(q^{n}-q^{k-1}\right) \)
geordnete linear unabhängige Teilmengen von \( \mathbb{F}_{q}^{n} \) mit genau \( k \) Elementen gibt.
(c) Wie viele verschiedene geordnete Basen hat ein \( k \)-dimensionaler Untervektorraum von \( \mathbb{F}_{q}^{n} \) ?
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(d) Für \( n, k \in \mathbb{N} \) sei
\( \left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\frac{\left(q^{n}-1\right)\left(q^{n}-q\right) \ldots\left(q^{n}-q^{k-1}\right)}{\left(q^{k}-1\right)\left(q^{k}-q\right) \ldots\left(q^{k}-q^{k-1}\right)} . \)
Zeigen Sie, dass es genau \( \left[\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right]_{q} k \)-dimensionale Untervektorräume von \( \mathbb{F}_{q}^{n} \) gibt.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass gilt \( \lim \limits_{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \).
Aufgabe:
