Summe von Reihe mit Funktionsableitung berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} . \)

Hinweis: Für \( x \in(-1,1) \) sei
\( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n} . \)

Drücken Sie die obige Reihe als Wert von \( f^{\prime} \) aus.

Problem/Ansatz:

Ich soll folgende Summe berechnen, habe viel herumprobiert, jedoch komme ich irgendwie nicht weiter. Berechnen Sief‘ zu berechnen ist ja nicht schwer, aber ich kann hier keinen direkten Zusammenhang erkennen. Benötigt man vielleicht die geometrische Summenformel, aber dann gibt es ja auch den Fall dass x zwischen 0 und -1, das wäre ja dann alternierend. Weiß einer von euch hier weiter?

Answer 1

\(f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n} . \) ==> \(f ' (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} n\cdot x^{n-1}  = \sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot x^{n-1} \)

==>\(  f ' (\frac{1}{2})  = \sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (\frac{1}{2}) ^{n-1}   = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}\)

==>  \(  \frac{1}{2} \cdot f ' (\frac{1}{2})  =  \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}\)

Comments

Danke für die schnelle/einfache Antwort

Answer 2

Für \(|x| <1 \) gilt

\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac 1{1-x}\)

\(\Rightarrow f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac 1{(1-x)^2}\)

\(\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}nx^n = \frac x{(1-x)^2}\)

Jetzt musst du nur noch \(x=\frac 12\) einsetzen.