Zeigen Sie, dass U1:={φ(v)∣v∈V} (das Bild von φ) und U2:={v−φ(v)∣v∈V} Untervektorräume von V sind und dass V=U1⊕U2 gilt

Question

Sei nun φ:V→V ein beliebiger Vektorraumhomomorphismus mit φ∘φ=φ. Zeigen Sie, dass U1:={φ(v)∣v∈V} (das Bild von φ) und U2:={v−φ(v)∣v∈V} Untervektorräume von V sind und dass V=U1⊕U2 gilt

Ich brauche Hilfe mit der ganzen Frage!

Answer 1

Sei v∈V. Betrachte w:=φ(v). ==> w∈U1   und u:= v-w. Also u∈U2 .

Dann gilt v=w+u also v∈U1+U2.

Die Summe ist direkt, weil U1∩U2={0} ; denn

sei x∈U1∩U2 ==>  x∈U1 und x∈U2

==> Es gibt v1∈V mit x=φ(v1) und Es gibt v2∈V mit x=v2−φ(v2)

==> φ(v1) =v2−φ(v2) ==> φ(v1) + φ(v2) = v2 Dann aber auch

==>  φ(φ(v1)+φ(v2)) = φ(v2) wegen Hom.

==>  φ(φ(v1))  +φ((v2)) = φ(v2) Wegen φ∘φ=φ also

==> φ(v1) + φ(v2) =  φ(v2)   ==>    φ(v1)=0   wegen x= φ(v1) also x=0.

Also V=U1⊕U2. q.e.d.

Comments

@mathef Vielen Dank für deine Antwort!
Ist diese Frage lösbar :

Zeigen Sie, dass für φ, U1, U2 wie in (c) gilt: φ(u1)=u1 für alle u1∈U1 und φ(u2)=0 für alle u2∈U2

c) ist die obere Frage.

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Wenn u1∈U1 gilt, dann gibt es ein x∈V mit φ(x)=u1

==>  φ(φ(x))=φ(u1) wegen       φ∘φ=φ gilt

       φ(x)=φ(u1)   aber s.o.   φ(x)=u1

     also u1 =     φ(u1)  .

Dann sei u2∈U2, also gibt es ein x∈V mit

       u2 = x -   φ(x) 

==>  φ(u2) = φ(x- φ(x))  Linearität !

==> φ(u2) = φ(x)- φ(φ(x))    φ∘φ=φ gibt

==> φ(u2) = φ(x)- φ(x)  = 0 .  q.e.d.