Folgen Divergenz Definition beweisen

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine Folge reeller Zahlen. Man zeige, daß genau dann gilt
limn→∞ an = −∞, wenn es für jedes M ∈ R ein N = NM ∈ R gibt mit: n > N ⇒ an < M

Problem/Ansatz:

Also mir ist bewusst das es sich hierbei um die allgemeine Definition von Divergenz bei Folgen handelt. Ich dachte mir vielleicht das ich mit einem Wiederspruch, das es nicht konvergent ist argumentieren kann. Außerdem geht ja aus der Aufgabenstellung hervor das ich beide Richtungen, also Äquivalenz, zeigen muss.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen,

danke schonmal im Voraus :)

Answer 1

Also mir ist bewusst das es sich hierbei um die allgemeine Definition von Divergenz bei Folgen handelt.

Das denke ich nicht. Divergent bedeutet doch i.allg. "nicht konvergent".

In dem vorgestellten Fall handelt es sich doch um

"bestimmt divergent gegen -∞ "
Dazu müsstet ihr doch auch eine Definition haben (Oft ist das die hier genannte

Aussage.) Aber vielleicht hattet ihr ja sowas wie

Für jede ε-Umgebung U_ε von -∞ gibt es ein N, sodass für n>N a_n ∈U_ε gilt.

Comments

Was ist denn eine ε-Umgebung von -∞ ?

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Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Also benutze ich eine andere Definition von "bestimmt divergent gegen -∞ ", um auf die Definition aus der Aufgabe zu kommen?

Also die Beweisstruktur von nicht Konvergenz ist ja:

Für jedes ε > 0 existiert ein N mit n>N:   |an-(-∞)| < ε

oder? Also im Gegensatz zur Konvergenz ist ja der betrag < ε anstatt > ε

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Was ist denn eine ε-Umgebung von -∞ ?

Das war ja meine Frage, ob vielleicht irgendeiner

sowas definiert hat.

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Also benutze ich eine andere Definition von "bestimmt divergent gegen -∞ "

Da müsstet ihr mal eine Def. formuliert haben.

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Wir haben zum einen eine Definition zur Kovergenz gegeben und wir haben die Definition für die bestimmte Divergenz (also einfach "nicht konvergent" gegeben. Die habe ich jedoch oben schon in meine erste Antower geschrieben

Die Definition ist zwar für Funktionen, ich kann diese doch aber auch einfach für Folgen nehmen oder ?

Def:

Sei f : R ⊃ C → Rn eine Funktion
und sei ∞ ein Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs C. Sei b ∈ Rn ein Punkt.
Genau dann gilt limx→∞ f (x) = b, wenn es für jedes ε > 0 ein N = Nε ∈ R gibt
mit
x > N ⇒ |f (x) − b| < ε

Aber das ist ja irgendwie im Grunde das gleiche wie aus der Aufgabenstellung, soweit ich das sehe

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die Definition für die bestimmte Divergenz (also einfach "nicht konvergent" gegeben.

Das kann ja nicht sein. Betrachte a_n = (-1)^n . Das ist nicht konvergent aber sicher nicht "bestimmt divergent".

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Außer dass es hier um abstraktestes Denken geht kann ich

in solchen Aufgaben keinen Sinn erkennen.

Oder haben sie eine praktische Relevanz?

Gibt es konkrete Anwendungen dafür?

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Oder haben sie eine praktische Relevanz?

Den "praktisch relevanten Bereich" der Mathematik vom Grundlagenbereich abschneiden zu wollen, heißt ernten zu wollen ohne zu säen.

Übrigens ist die Geschichte der Mathematik reich an Beispielen für Themen, die lange Zeig als höchst "rein" galten und auf einmal praxis-relevant waren, zum Beispiel Primzahl-Theorie.

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zum Beispiel Primzahl-Theorie.

Das ist mir bekannt.

Wie siehst es bei Folgen aus?

Dass das sehr trockene Materie ist, darf man aber schon sagen, oder?

Wo liegt der Reiz?

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Folgen und Reihen kann man z.B. für

Berechnungen im Zusammenhang mit

Zinsseszins , Hypotheken, Renten etc.

ganz gut brauchen.