Hallo :-)
Betrachtet man die Fehlerabschätzung bei der Intervallhalbierung/Bisektion, dann ergibt das \(|x-x_0|<\frac{b-a}{2^n}=\frac{2-0}{2^n}=\frac{2}{2^n}\stackrel{!}{<} 0.1\), was für \(n\in \N_{\geq 5}\) erfüllt ist. Also musst du mindestens fünf Iterationen durchführen:
1.) Betrachte Intervall \([0,2]\):
\(f(0) \approx -2<0,\quad f(2) \approx 14>0\)
Mitte vom Intervall \([0,2]\) ist \(m = 1.0 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -3.0<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([1.0,2]\)
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2.) Betrachte Intervall \([1.0,2]\):
\(f(1.0) \approx -3.0<0,\quad f(2) \approx 14>0\)
Mitte vom Intervall \([1.0,2]\) ist \(m = 1.5 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 1.1875>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([1.0,1.5]\)
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3.) Betrachte Intervall \([1.0,1.5]\):
\(f(1.0) \approx -3.0<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)
Mitte vom Intervall \([1.0,1.5]\) ist \(m = 1.25 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -1.66797<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([1.25,1.5]\)
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4.) Betrachte Intervall \([1.25,1.5]\):
\(f(1.25) \approx -1.66797<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)
Mitte vom Intervall \([1.25,1.5]\) ist \(m = 1.375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx -0.46655<0\)
==> Intervalluntergrenze nach rechts anpassen, da \(f(m)\) negativ.
==> Das ergibt das neue Intervall \([1.375,1.5]\)
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5.) Betrachte Intervall \([1.375,1.5]\):
\(f(1.375) \approx -0.46655<0,\quad f(1.5) \approx 1.1875>0\)
Mitte vom Intervall \([1.375,1.5]\) ist \(m = 1.4375 \quad \Rightarrow \quad f(m) \approx 0.29909>0\)
==> Intervallobergrenze nach links anpassen, da \(f(m)\) positiv.
==> Das ergibt das neue Intervall \([1.375,1.4375]\)
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Also befindet sich im Intervall \([1.375,1.4375]\) mindestens eine Nullstelle. Näherungsweise Intervallmitte als Ergebnis:
1.40625