Matrixen Eigenvektor zum Eigenwert

Question

Text erkannt:

Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachten wir die Matrizen \( S_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & -\cos (\alpha)\end{array}\right) \).
a) Zeigen Sie, dass \( \left(\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{array}\right) \) ein Eigenvektor von \( S_{\alpha} \) zum Eigenwert 1 ist und \( \left(\begin{array}{c}-\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{array}\right) \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( -1 \) ist.
b) Geben Sie eine geometrische Beschreibung der Abbildung \( s_{\alpha}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{x} \mapsto S_{\alpha} \vec{x} \) an. Fertigen Sie dazu unter anderem eine Skizze für den Fall \( \alpha=\frac{\pi}{2} \) an, die die Eigenvektoren aus a) enthält.
c) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung zu \( s_{\alpha} \).

Comments

hi, zu a)

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

sin x= sin(2 * (0,5*x))=2*sin(0,5*x)*cos(0,5*x)
cos x= cos(2 * (0,5*x))=1- 2*sin²(0,5*x)

Einsetzen, Matrix ausmultiplizieren, cos(x/2) ausklammern und sin²(x/2)+cos²(x/2)= 1 nutzen

Du siehst, dass S_α*v=1*S_α ist , also \( v=\begin{pmatrix} cos(x/2) \\ sin(x/2) \end{pmatrix}\)   ist Eigenvektor zu Eigenwert λ=1

Analog anderer Eigenvektor.

Answer 1

Man könnte a) einfach nachrechnen?

und sich ein Bild machen

Nach dem die Matrix symmetrisch ist die Umkehrung auch klar?

Answer 2

Die a) habe ich dir als Kommentar beantwortet

b) hat Wächter bereits geholfen

c)

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix

"Eine reguläre Matrix ist die Darstellungsmatrix einer bijektiven linearen Abbildung und die inverse Matrix stellt dann die Umkehrabbildung dieser Abbildung dar."

$$s_{\alpha}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{x} \mapsto S_{\alpha} \vec{x}\\S_{\alpha}\cdot S_{\alpha}=E_2 \text{ (Einheitsmatrix)} \Rightarrow S^{-1}_{\alpha}=S_{\alpha}\\s^{-1}_{\alpha}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{x} \mapsto S_{\alpha} \vec{x}$$

  

Comments

Irgendwie wird der LaTex-Code nicht richtig angezeigt, aber eigentlich stimmt er...habe es mit https://www.matheretter.de/rechner/latex geprüft

Essenz: Die Matrix S_α ist invers zu sich selbst.

---

Irgendwie wird der LaTex-Code nicht richtig angezeigt,

ich habe mir erlaubt die Zeilenumbrüche aus dem LaTeX-Script zu entfernen - dann geht's. Die werden ggf. von der Website eingefügt.

---

Danke Werner :)