Zeigen Sie: Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] → [a, b] existiert ein x ∈ [a, b] mit f(x) = x.

Question

Hallo, hier eine Aufgabe bei der ich Hilfe bräuchte

Zeigen Sie:

Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] → [a, b] existiert ein x ∈ [a, b] mit f(x) = x.

Grüße:)

Answer 1

Intuitiver Zugang

Stetigkeit bedeutet heuristisch, dass man den Graphen der Funktion ohne Absetzen zeichnen kann.

(i) Zeichne dir ein Koordinatensystem, trage auf der x-, als auch y-Achse das Intervall [a,b] ab.

(ii) Zeichne y=x in dein Koordinatensystem.

(iii) Zeichne eine Funktion in das durch [a,b]x[a,b] entstandene Quadrat ein. Wiederhole diesen Vorgang, bis du dir im Klaren darüber bist, dass du in dieses Quadrat keine Funktion einzeichnen kannst, die links startet und rechts aufhört, ohne dabei y=x zu schneiden.

https://www.desmos.com/calculator/exk6524bup

Formaler Zugang

Argumentiere über den Zwischenwertsatz, angewandt auf \(\varphi(x)=f(x)-x\).

Comments

Und wie genau würde dieser formale Zugang dann aussehen? Ich meine, was bringt es mir zu wissen, dass φ alle Werte zwischen f(a)-a und f(b)-b annimmt?

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Zwischen diesen Werten liegt halt die 0...

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Du kannst es dir vielleicht klarer machen, indem du \(f([a,b])\subset [a,b]\) betrachtest und einmal die Randpunkte. Wenn \(f(a)=a\) ist nichts zu zeigen, ebenso mit \(f(b)=b\), hier hast du dann jeweils einen Fixpunkt.

Es ist \(\varphi(b)=f(b)-b\leq 0\) und \(\varphi(a)\geq 0\), und damit gibt es nach dem ZWS ein \(\xi \in [a,b]\) mit, \(\varphi(\xi)=f(\xi)-\xi=0\), also \(f(\xi)=\xi\).