Aufgabe T33:
a) Die Funktion \( f: \mathcal{D}_{f} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gleichmäßig stetig. Zeigen Sie, dass für jede Cauchyfolge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( x_{n} \in \mathcal{D}_{f} \) für alle \( n \) auch die Folge \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchyfolge ist.
b) Finden Sie ein Intervall \( I \subset \mathbb{R} \), eine stetige Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) und eine CAUCHYfolge \( \left(x_{n}\right)_{n} \) in \( I \) derart, dass \( \left(f\left(x_{n}\right)\right)_{n} \) keine CAUCHYfolge ist.
Aufgabe T34:
Zeigen Sie, dass zu jeder stetigen Funktion \( f:[0,1] \rightarrow[0,1] \) ein Punkt \( x_{0} \in[0,1] \) mit \( f\left(x_{0}\right)=x_{0} \) existiert.
