Lineare Algebra - Zeigen Sie: Wenn A eine quadratische Matrix

Question

Aufgabe:

Eine Matrix B heißt symmetrisch, wenn B^T = B. Zeigen Sie: Wenn A eine quadratische Matrix
ist, so sind sowohl A A^T als auch A + A^T
symmetrisch.

Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich das zeigen soll.

Answer 1

Zeile \(i\) der Matrix \(A\) ist

        \(\begin{pmatrix}a_{i1}&\dots &a_{in}\end{pmatrix}\).

Spalte \(j\) der Matrix \(A^{\mathrm{T}}\) ist

         \(\begin{pmatrix}a_{j1}\\\vdots\\ a_{jn}\end{pmatrix}\)

Der Eintrag in Zeile \(i\), Spalte \(j\) der Matrix \(A\cdot A^{\mathrm{T}}\) ist daher

        \(\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}\)

Zeige, dass das auch der Eintrag in Zeile \(j\), Spalte \(i\) der Matrix \(A\cdot A^{\mathrm{T}}\) ist.

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten zuerst die Transposition des Produktes zweier Matrizen \(A\) und \(B\)...

Für \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{l\times n}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times l}\). Wir berechnen das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,l\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix richtig ist, gilt: \((AB)^T=B^TA^T\).

Damit ist nun Teil a) klar und Teil b) ist nicht besonders schwierig:

zu a) \(\quad(\red A\green A^T)^{\pink T}=(\green A^T)^{\pink T}\red A^{\pink T}=\green A\red A^{\pink T}\)

zu b) \(\quad(\red A+\green A^T)^{\pink T}=\red A^{\pink T}+(\green A^T)^{\pink T}=\red A^{\pink T}+\green A=\green A+\red A^{\pink T}\)

Answer 3

Falls ihr schon erste grundlegende Eigenschaften des Transponieren hattet, könnte der Beweis recht schnell sein:

$$(AA^T)^T = (A^T)^TA^T= AA^T$$

$$(A+A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A =A+A^T$$