Zufallsvariable Expotentialfunktion standardisieren

Question

Aufgabe:

\( f_{k}(x)=\left\{\begin{aligned} k \cdot e^{-k \cdot x}, & \text { für } x \geq 0 \\ 0, & \text { für } x<0 \end{aligned}\right. \)
die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Gleichverteilung auf dem Intervall \( \mathbb{R} \). Hierbei ist \( k \in \mathbb{R}^{>0} \) eine Konstante.
Standardisieren Sie die Zufallsvariable \( X \).

Problem/Ansatz:

Wie genau würdet ihr diese Aufgabe lösen? Vielen Dank für eure Hilfe :D

Comments

vgl:

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!913:Standardisierung_von_Zufallsgroessen

Answer 1

Wie genau würdet ihr diese Aufgabe lösen?

(i) Erwartungswert von \(X\) bestimmen:$$\mathbb{E}(X)=\int \limits_{0}^{\infty}x\cdot ke^{-kx}\, \mathrm{d}x$$

(ii) Varianz über den Verschiebungssatz bestimmen:$$\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2,$$ wobei $$\mathbb{E}(X^2)=\int \limits_{0}^{\infty}x^2\cdot ke^{-kx}\, \mathrm{d}x$$ (iii) Man standardisiert dann, indem man zunächst zentriert \(X-\mathbb{E}(X)\), um dann zu normieren: $$X^*=\frac{X-\mathbb{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}$$ \(X^*\) heißt dann standardisiert.

Kurzum: Man löst zwei Integrate und setzt ein.