Stetige Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable - Konstanten bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei X eine Zufallsvariable mit einer stetigen Verteilungsfunktion F der Form

F(x)=0 für x < -2

F(x)=\( \frac{1}{4} \)+\( \frac{1}{8} \)x für -2 ≤ x ≤ 0

F(x)=c₁+c₂(1-e^-x) für 0 < x

Man bestimme die Konstanten c₁ und c₂.

Problem/Ansatz:

Meine (wohlgemerkt völlig amateurhafte) Überlegung wäre gewesen, die dritte Formel von 1 bis unendlich zu integrieren, die Summe der Ergebnisse bei Einsetzen der Intervallwerte in die integrierte zweite Formel zu berechnen, diese von 1 abzuziehen und den so entstandenen Wert als Ergebnis für die dritte Formel zu setzen. Aber erstens keine Ahnung, ob das nicht völliger Blödsinn ist, zweitens keine Ahnung, wie ich von dort aus auf die zwei(!) Unbekannten komme. Ich würde mich sehr über Tipps freuen!

Answer 1

f(x) = a + b·(1 - e^(-x))

f(0) = 1/4 --> a = 1/4

lim (x --> ∞) f(x) = a + b = 1 → b = 3/4

Comments

Vielen Dank!!! Der Grund, dass a=1/4, ist, dass die Konstante a den Teil der Verteilungsfunktion für die Werte von 0 bis -2 abdeckt und a mir somit diesen Bereich als Konstante in der Verteilungsfunktion für alle Werte höher 0 hineinbringt? Und der Limes ist 0, weil e^(-x) (sehr schnell) gegen 0 geht, wenn ich x unendlich setze?

---

Ich bin mir aufgrund deines Kommentars nicht ganz sicher ob du es wirklich verstanden hast.

Meine Idee ist das die einzelnen Funktionen für F(x) sprungfrei ineinander übergehen müssen. Und das der Grenzwert von F(x) für x gegen unendlich 1 sein muss.

---

Also weil die Verteilungsfunktion von links nach rechts steigt, *muss* die Verteilungsfunktion für x>0 mindestens so hoch sein wie die Verteilungsfunktion für -2<=x<=0? Und der Grenzwert muss 1 sein, weil die maximale kumulierte Wahrscheinlichkeit 1 ist?

---

Ja. Genau so sieht es aus.